Для функции
f (x) =
вычислить интеграл по мере Лебега – Стилтьеса, порожденной функций F, если он существует.
Решение. Функция F(x) кусочно непрерывна, имеет одну точку разрыва x = , причем что означает непрерывность слева функции F. Остановимся на пунктах 1) – 5).
-
Известно, что для любого x[0,3[ . В нашем случае
-
На промежутке мера Лебега-Стилтьеса совпадает с мерой Лебега.
-
, так как F постоянна.
-
Покажем, что на мера Лебега-Стилтьеса абсолютно непрерывна относительно меры Лебега . Достаточно рассмотреть промежуток Поскольку
то
и, следовательно, – абсолютно непрерывна.
Таким образом, полуинтервал [0,3[ разбивается на четыре части:
и на каждой части мера описана выше.
-
Рассмотрим канторово множество K:
Так как то потому что на промежутках абсолютной непрерывности
Q и .
Для вычисления интеграла построим эквивалентную функцию g(x), которая отличается от f(x) только в точках множества мера которого равна нулю. Пусть
g(x) =
Тогда
Итак,
Задача 5. Определить полную вариацию функций F на указанном отрезке, если:
1) F(x) =
2) F(x) =
Решение. 1) Функция F является монотонной на отрезках
Поэтому функция имеет ограниченное изменение и
.
2) Рассмотрим произвольное разбиение П отрезка Для этого разбиения
Отсюда следует, что
Кроме того, рассмотрим разбиение В этом случае, поэтому sup т.е. .
Задача 6. Доказать, что функция F(x) = не имеет ограниченного изменения на отрезке .
Решение. Отметим, что функция F имеет неограниченную производную.
Рассмотрим для произвольного натурального числа n разбиение отрезка точками, в которых функция равна поочередно –1 и 1, т.е.
и вычислим сумму модулей приращений функций F на отрезках разбиения
Поскольку ряд расходящийся, то последовательность его частичных сумм не ограничена сверху, т.е. Следовательно, функция F не имеет ограниченного изменения.
Задание 1. Пусть на [a,b[ задана мера Лебега-Стилтьеса, порожденная функцией g. Проверить, что g не убывает и непрерывна слева. Найти:
-
меру каждого одноточечного множества;
-
промежутки, на которых эта мера совпадает с мерой Лебега;
-
промежутки, имеющие нулевую меру;
-
промежутки, на которых эта мера абсолютно непрерывна относительно меры Лебега;
-
найти меру канторова множества K и множества рациональных чисел Q.
Для функции f вычислить интеграл по мере Лебега-Стилтьеса, если он
существует, используя следующую формулу:
g = +
где x1, x2,…, xn – точки разрыва функции g.
1.1. f (x) = g(x) =
1.2. f (x) = g(x) =
1.3. f (x) = g(x) =
1.4. f(x) = g(x)=
1.5. f(x) = g(x) =
1.6. f(x) = g(x) =
1.7. f(x) = g(x) =
1.8. f(x) = g(x) =
1.9. f(x) = g(x) =
1.10. f(x) = g(x) =
1.11. f(x) = g(x) =
1.12. f(x) = g(x) =
1.13. f(x) = g(x) =
1.14. f(x) = g(x) =
Задание 2. Вычислить интеграл Римана-Стилтьеса.
2.1. F(x) =
2.2. F(x) =
2.3. F(x) =
2.4. , F(x) =
2.5. F(x) =
2.6. F(x) = | sin x |.
2.7. F(x) =
2.8. F(x) = cos x sign x.
2.9. F(x) =
2.10. F(x) = sin x sign x.
2.11. F(x) =
2.12. F(x) =
2.13. F(x) = x sign(cos x).
2.14. F(x) = sin x sign(cos x).
Задание 3. Выяснить, ограничена ли вариация у следующих функций. При положительном ответе вычислить вариацию функций f.
-
F(x) =
-
F(x) =
-
F(x) =
-
F(x) =
-
F(x) =
-
F(x) =
-
F(x) =
-
F(x) =
-
F(x) =
-
F(x) =
-
F(x) =
-
F(x) =
-
F(x) =
-
F(0) = 0; F = 0; F = и линейна на каждом отрезке.
- Тема 5. Интеграл Лебега-Стилтьеса, функции с ограниченным изменение
- 1. Заряды. Функции с ограниченным изменением.
- Основные свойства функций ограниченной вариации
- 2. Интеграл Лебега-Стилтьеса. Связь с интегралом Римана-Стилтьеса
- Основные свойства интеграла Римана-Стилтьеса.
- Примеры решения задач
- Для функции