Для функции

f (x) =

вычислить интеграл по мере Лебега – Стилтьеса, порожденной функций F, если он существует.

Решение. Функция F(x) кусочно непрерывна, имеет одну точку разрыва x = , причем что означает непрерывность слева функции F. Остановимся на пунктах 1) – 5).

1. Известно, что для любого x[0,3[ . В нашем случае

2. На промежутке мера Лебега-Стилтьеса совпадает с мерой Лебега.

3. , так как F постоянна.

4. Покажем, что на мера Лебега-Стилтьеса абсолютно непрерывна относительно меры Лебега . Достаточно рассмотреть промежуток Поскольку

то

и, следовательно, – абсолютно непрерывна.

Таким образом, полуинтервал [0,3[ разбивается на четыре части:

и на каждой части мера описана выше.

5. Рассмотрим канторово множество K:

Так как то потому что на промежутках абсолютной непрерывности

Q и .

Для вычисления интеграла построим эквивалентную функцию g(x), которая отличается от f(x) только в точках множества мера которого равна нулю. Пусть

g(x) =

Тогда

Итак,

Задача 5. Определить полную вариацию функций F на указанном отрезке, если:

1) F(x) =

2) F(x) =

Решение. 1) Функция F является монотонной на отрезках

Поэтому функция имеет ограниченное изменение и

.

2) Рассмотрим произвольное разбиение П отрезка Для этого разбиения

Отсюда следует, что

Кроме того, рассмотрим разбиение В этом случае, поэтому sup т.е. .

Задача 6. Доказать, что функция F(x) = не имеет ограниченного изменения на отрезке .

Решение. Отметим, что функция F имеет неограниченную производную.

Рассмотрим для произвольного натурального числа n разбиение отрезка точками, в которых функция равна поочередно –1 и 1, т.е.

и вычислим сумму модулей приращений функций F на отрезках разбиения

Поскольку ряд расходящийся, то последовательность его частичных сумм не ограничена сверху, т.е. Следовательно, функция F не имеет ограниченного изменения.

Задание 1. Пусть на [a,b[ задана мера Лебега-Стилтьеса, порожденная функцией g. Проверить, что g не убывает и непрерывна слева. Найти:

1. меру каждого одноточечного множества;

2. промежутки, на которых эта мера совпадает с мерой Лебега;

3. промежутки, имеющие нулевую меру;

4. промежутки, на которых эта мера абсолютно непрерывна относительно меры Лебега;

5. найти меру канторова множества K и множества рациональных чисел Q.

Для функции f вычислить интеграл по мере Лебега-Стилтьеса, если он

существует, используя следующую формулу:

_g = +

где x₁, x₂,…, x_n – точки разрыва функции g.

1.1. f (x) = g(x) =

1.2. f (x) = g(x) =

1.3. f (x) = g(x) =

1.4. f(x) = g(x)=

1.5. f(x) = g(x) =

1.6. f(x) = g(x) =

1.7. f(x) = g(x) =

1.8. f(x) = g(x) =

1.9. f(x) = g(x) =

1.10. f(x) = g(x) =

1.11. f(x) = g(x) =

1.12. f(x) = g(x) =

1.13. f(x) = g(x) =

1.14. f(x) = g(x) =

Задание 2. Вычислить интеграл Римана-Стилтьеса.

2.1. F(x) =

2.2. F(x) =

2.3. F(x) =

2.4. , F(x) =

2.5. F(x) =

2.6. F(x) = | sin x |.

2.7. F(x) =

2.8. F(x) = cos x  sign x.

2.9. F(x) =

2.10. F(x) = sin x  sign x.

2.11. F(x) =

2.12. F(x) =

2.13. F(x) = x  sign(cos x).

2.14. F(x) = sin x  sign(cos x).

Задание 3. Выяснить, ограничена ли вариация у следующих функций. При положительном ответе вычислить вариацию функций f.

1. F(x) =

2. F(x) =

3. F(x) =

4. F(x) =

5. F(x) =

6. F(x) =

8. F(x) =

9. F(x) =

10. F(x) =

11. F(x) =

12. F(x) =

13. F(x) =

14. F(x) =

15. F(0) = 0; F = 0; F = и линейна на каждом отрезке.