Примеры решения задач

Задача 1. Пусть функция F(x) порождает меру Лебега-Стилтьеса на [ –2, 2 [. Доказать, что произвольная функция f (x) интегрируема на [–2, 2 [ относительно меры и

если F(x)=

Решение. Отметим, что все подмножества интервала [-2,2[ измеримы и поэтому каждая функция f(x), x  [-2,2[ измерима относительно меры . Представим полуинтервал [-2,2[ в виде объединения непересекающихся множеств [ –2, 2[ = [–2, –1[  {–1}  ]–1,1[  {1}  ]1,2[.

Множества [-2,1[, ]-1,1[, ]1,2[ имеют меру нуль, так как функция, порождающая меру , на этих множествах постоянна, а тогда каждая функция f (x) интегрируема и интеграл от неё равен нулю.

На множествах {-1} и {1} функция постоянна, а значит, простая. Поэтому

Следовательно, произвольная функция f (x) интегрируема на [-2,2[ и интеграл равен 2f (1)+f (–1). Данная функция будет интегрируема на всей числовой прямой, если

F(x)= тогда

Задача 2. Вычислить интеграл Римана-Стилтьеса

где F(x)=

Решение. Если функция f (x) непрерывна на [a, b], а функция F (x) имеет на [a, b] всюду, кроме конечного числа точек интегрируемую по Риману производную , то существует интеграл Римана-Стилтьеса и

Тогда

Задача 3. Пусть X=[0,1[, S={[a,b[X}, h(x) – некоторая неотрицательная интегрируемая по Риману на отрезке [0,1] функция; Вычислить

Решение. Построим последовательность простых интегрируемых функций, равномерно сходящуюся к Представим так, что По теореме о среднем для интеграла Римана такая, что , т.е. .

Положим для , тогда и равномерно сходится к т.к. при

есть интегральная сумма Римана, построенная для непрерывной функции на отрезке [0,1]. Так как при , , то

Итак,

Задача 4. Пусть на [0,3[ задана мера Лебега–Стилтьеса, порожденная функцией

F(x) =

Проверить, что F не убывает и непрерывна слева. Найти:

1) меру одноточечного множества;

2) промежутки, на которых эта мера совпадает с мерой Лебега;

3) промежутки,имеющие нулевую меру;

4) промежутки, на которых эта мера абсолютно непрерывна относительно меры Лебега;

5) найти меру канторова множества K и меру множества рациональных чисел на [0,3[.