Лекция 3. Понятие поверхности. Гладкие поверхности. Координатная сеть на поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности §8. Векторная функция двух скалярных аргументов

Пусть – трехмерное векторное пространство над полем вещественных чисел,– некоторое подмножество пространтсва.

Если задано отображение в, то имеемвекторную функцию двух скалярных аргументов.

В наших рассуждениях мы, как правило, будем рассматривать векторные функции, определенные на множестве , являющемсядвумерной областью. Это означает, что является связным (любые две его точки можно соединить элементарной кривой, содержащейся в) и каждая точкаимеет окрестность, содержащуюся вили пересекающуюся с ним по полукругу с границей. Примерами двумерных областей могут служить всё пространтсво, замкнутое числовое пространство, состоящее из всех точек, для которых, числовой квадрат, состоящий из всех точек, для которых.

Задание в векторном пространстве базиса приводит к трем числовым функциям двух аргументов

.

Для векторных функций двух аргументов, по аналогии с векторными функциями одного аргумента, определяются понятие предела, непрерывности.

Если фиксировать одну переменную, то будем иметь функцию одной переменной, для которой можно искать производную. Если эта производная существует, то она называется частной производной векторной функции:

.

Частные производные существуют тогда и только тогда, когда существуют частные производные координат векторной функции, при этом

.

Если векторные функции дифференцируемы в точке, то вектор

называется дифференциалом векторной функции в точке , при этом. Векторная функция в этом случае называетсядифференцируемой в точке .

Векторная функция называется дифференцируемой, если она дифференцируема в каждой точке своей области определения.