8.3. Метод дисперсионного уравнения для описания волновых процессов в линейных системах.

При описании волновых процессов в электронных потоках изменения всех величин в одномерном случае будем представлять, как и ранее, в виде .

Дисперсионное уравнение определяет связь частоты с постоянной распространения. Решение этого уравнения позволяет выявить развитие неустойчивостей. Признак развития неустойчивости – мнимость частоты (или постоянной распространения) в условиях, когда другая величина действительна. Для составления дисперсионного уравнения пользуются уравнениями, описывающими распределение полей, воздействующих на движение электронов, и уравнениями движения.

В нерелятивистском случае будем считать, что на движение электронов оказывает воздействие только ВЧ электрическое поле, а влияние ВЧ магнитного поля пренебрежимо мало. При этом будем учитывать только потенциальную часть электрического поля и пренебрегать вихревыми его составляющими, связанными с изменением во времени магнитного поля. Поэтому из уравнений Максвелла воспользуемся уравнением полного тока

(8.13)

и уравнением Пуассона

. (8.14)

Эту пару уравнений можно дополнить уравнением непрерывности

. (8.15)

Уравнение непрерывности следует из уравнений (8.13) и (8.14) и поэтому не является самостоятельным. Распределение поля, связанного с токами и зарядами, однозначно определяется любой парой из последних трех уравнений. Если электронный поток имеет бесконечную протяженность, в уравнении (8.13) . Поэтому изменения конвекционного токапроисходят за счет тока смещения и наоборот.

Уравнение движения для электрона может быть записано следующим образом:

, (8.16)

так как в уравнение для Лоренцевой силы входит магнитная индукция и=1.