В общем случае добротность осциллятора определяется равенством

. (8.3)

При =0 добротность равна бесконечности.

Колебания в неавтономном осцилляторе определяются не только его внутренними характеристиками, но и действием внешней вынуждающей силы. Такие колебания описываются уравнением вида

. (8.4)

В этом уравнении F_о - амплитуда, а  - частота вынуждающей силы.

При =0 и  =_о происходит бесконечное резонансное увеличение амплитуды колебаний. В диссипативной системе (0) амплитуда колебаний ограничена и максимальные амплитуды достигаются при значениях частоты вынуждающей силы меньше _о. На рис.8.1 показаны изменения амплитуды колебаний с частотой при разных значениях коэффициента затухания. Здесь _о=0 и ₃₂₁0.

Как мы уже говорили, линейная колебательная система аддитивна. Поэтому же в линейных режимах распределенная колебательная система, каковой является электронный поток, может быть рассмотрена, как сумма дискретных электронов в колебательных состояниях. Поэтому же в линейных режимах можно пользоваться гидродинамической моделью электронного потока, рассматривать его как заряженную жидкость, в которой колеблются макрообъемы.

Для характеристики волновых процессов используют понятия частоты, постоянной распространения, фазовой и групповой скоростей, которыми мы уже неоднократно пользовались. Но есть еще одно понятие, которым мы практически не пользовались, но которое может быть полезным, в особенности, при анализе коллективных процессов в движущихся средах, каковыми являются электронные потоки. Это понятие плотности энергии монохроматической волны (средняя за период энергия, излучаемая единицей объема).

Пусть W_k - плотность энергии монохроматической волны с постоянной распространения k (энергия, излучаемая единицей объема в единицу времени волной с постоянной распространения k). Плотность энергии пропорциональна среднему за период квадрату электрического поля волны. Но нам удобно выразить эту величину по-другому и учесть по аналогии с квантовыми представлениями излучающих систем, что она пропорциональна частоте _k. Можно, видимо, записать

, (8.5)

где N_k - величина, не зависящая от _k и определяемая количеством квантов частоты _k, испускаемых единицей объема в единицу времени.

Если волна распространяется в движущейся со скоростью среде, иW_k есть плотность энергии волны в движущейся системе координат, то можно определить плотность энергии этой волны в неподвижной (лабораторной) системе координат с учетом доплеровского преобразования частоты. Определим эту величинудля нерелятивистского случая (1). Так как частота в неподвижной системе координат связана с частотойв движущейся системе координат о соотношением

, (8.6)

где - скорость движения среды (например, электронного потока), а-волновой вектор волны.

Количество испускаемых квантов (и соответственно величина N_k) не меняются при смене системы координат. Поэтому можно записать:

, (8.7)

т.е. при переходе из одной системы координат в другую энергия меняется в соответствии с доплеровским смещением частоты.

Из последнего соотношения следует кажущееся парадоксальным следствие. Из него следует возможность существования волн с отрицательной энергией. Представим себе, например, что мы имеем дело с плоской одномерной волной с постоянной распространения k_z и с частотой _k, распространяющейся вдоль оси z в движущейся системе координат. Энергия такой волны в движущейся системе координат определяется уравнением (8.5).

Если среда (например, электроны) движется навстречу волне со скоростью V= -V_o, при переходе в неподвижную систему координат произойдет доплеровский сдвиг частоты

. (8.8)

Поэтому в неподвижной системе координат получим

. (8.9)

Если увеличивать по абсолютной величине скорость V_o, то в условиях, когда V_o достигнет фазовой скорости волны

, (8.10)

волна в неподвижной системе координат остановится и ее частота , а следовательно и энергия, обратятся в нуль. Если величинаV_o превысит , то энергия волны станет отрицательной.

То, что энергия волны отрицательна, означает, что для ее возбуждения нужно не вводить энергию в среду, а отнимать энергию от среды.Вспомним, чтоименно так обстоит дело в электронно-пучковых СВЧ приборах, где для возбуждения волны в электронном потоке необходимо реализовать условия, когда от электронного потока отбирается энергия в замедляющую систему.Мы еще поясним дополнительно это явление потом. А пока обратим внимание на некоторые формальные следствия.

Сказанное позволяет определить условия некоторых типов резонансных взаимодействий. Например, когда волны движутся мимо неподвижного осциллятора с частотой осциллятора _о, то может происходить резонансный обмен энергией между осциллятором и волной при

, (8.11)

если волна с положительной энергией. В случае волны с отрицательной энергией такой обмен должен иметь место при выполнении условия

. (8.12)

В СВЧ электронике понятие о волнах с отрицательной энергией впервые ввел Чу (теорема о кинетической мощности).

Понятие волн с отрицательной и положительной энергией - основное в описании волновой динамики электронных потоков. Забегая вперед, скажем: если созданы условия для эффективного взаимодействия двух волн, волны, для возбуждения которой нужно отбирать энергию от потока (волны с отрицательной энергией) и волны, возбуждение которой требует передачи энергии (волны с положительной энергией), то в результате нарастут обе волны.