В уравнении (8.16) полная производная от скорости определяется выражением

, (8.17)

так как изменение скорости может происходить не только во времени, но и в пространстве. По Н.Е. Кочину (Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, Наука, 427 с.) второй член в правой части уравнения (8.17) нужно понимать, как произведение скалярного оператора (в круглых скобках) на вектор скорости.

Если поток моноскоростной, уравнение движения будет одинаковым для всех электронов. Мы будем рассматривать на данном этапе только моноскоростной поток. Для немоноскоростного потока надо было бы учитывать еще распределение электронов по скоростям.

Составление дисперсионного уравнения и его решение упрощается в случае малых переменных сигналов.В этом случае можно все величины, входящие в уравнения, представить в виде суммы статической и переменной составляющих

(8.18)

Учитывая, что переменные составляющие на ранней стадии развития колебаний много меньше по величине, чем статические, можно пренебречь в уравнениях произведениями двух и более малых величин. Такая процедура называется линеаризацией. Процедура линеаризации ведет к тому, что в уравнениях Максвелла связи между полями и токами, полями и плотностью пространственного заряда становятся линейными.

Рассмотрим пример составления и решения дисперсионного уравнения. Простейший вариант: бесконечно протяженный во всех направлениях и однородный электронный поток в отсутствие магнитного поля. Все электроны имеют одинаковую скорость (моноскоростной поток) и двигаются в одном направлении z. В таком потоке отсутствует не только магнитное, но и

статическое электрическое поле, а статические величины ,ине меняются в пространстве. Определим, что будет происходить в такой системе, если в качестве начального возмущения ввести малые переменные электрические поля , ориентированные тоже вдоль осиz.