Простые числа. Основная теорема арифметики. Каноническое разложение. Сравнения.

Натуральное число р>1 называют простым, если оно не имеет натуральных делителей, кроме 1 и самого себя

Пусть а>1 N, тогда:

1. а-простое

2. или а имеет простой делитель

3. если а-составное, то наименьший из его делителей-простое число и не превосходит

Учитывая, что при разложении натурального числа на простые сомножители эти сомножители могут повторяться, получаем каноническое разложение а.

a=

p₁ … p_mразличные простые числа

Говорят, что а сравнимо с bпо |m| (a b(modm)), если:

1. aи bдают одинаковые остатки при делении на m

2. или a-b m

10. Содержание

    • Множества и операции над ними. Отношение эквивалентности. Фактор множества.
    • Изоморфизм алгебраических структур
    • Натуральные числа. Нод. Деление с остатком и алгоритм Евклида.
    • Нок. Решение уравнений в целых числах.
    • Простые числа. Основная теорема арифметики. Каноническое разложение. Сравнения.
    • Кольца вычетов. Решение сравнений.
    • Числовые функции. Функция Эйлера. Теоремы Эйлера и Ферма.
    • Матрицы. Элементарные преобразования строк матрицы. Приведение к ступенчатому виду.
    • Операции над матрицами, их свойства.
    • Определители. Основные свойства. Вычисление определителей элементарными преобразованиями.
    • Евклидовы и унитарные пространства, скалярное произведение. Неравенство Коши-Буняковского.
    • Ортогональные системы векторов. Ортогонализация.
    • Ортогональное дополнение подпространства.
    • Сопряженное пространство. Двойственных базис.
    • Основные примеры групп. Конечные группы. Теорема Кэли.
    • Циклические группы. Подгруппы циклической группы.
    • Смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа.