4. Вычисление моментов инерции.

Моментом инерции материальной точки A относительно оси l называется число , где - масса точки, а d - ее расстояние от оси. Аналогично определяется момент инерции относительно точки.

Пусть Г - материальная линия, линейная плотность которой во всех точках равна единице. Тогда масса элементарного участка этой линии равна его длине dl, а момент инерции такого участка относительно оси абсцисс равен . Интегрируя, получаем момент инерции относительно оси абсцисс всей линии: = .

Так же доказывается, что: = и = + , где - момент инерции относительно начала координат.

Отсюда следует, в частности, что = + .

Есть линия Г задана параметрическими уравнениями: = , = , 0 , то = .

Аналогичные формулы справедливы для и .

Перейдем к вычислению моментов инерции криволинейной трапеции. Будем считать, что ее поверхностная плотность равна единице. Сначала найдем момент инерции прямоугольника со сторонами k и l относительно стороны k. Разобьем его на элементарные прямоугольники со сторонами k и dy (см. рис. 61). Площадь (а потому и масса) каждого такого прямоугольника равна kdy. Значит, момент инерции элементарного прямоугольника относительно этой стороны выражается формулой: = = .

Криволинейную трапецию разобьем на элементарные прямоугольники со сторонами |y| и dx. Момент инерции каждого из этих прямоугольников относительно оси абсцисс выражается формулой: = . Интегрируя, получаем момент инерции всей криволинейной трапеции относительно оси абсцисс:

= .

Аналогично доказывается, что момент инерции криволинейной трапеции относительно оси ординат выражается формулой:

= - (момент инерции элементарного прямоугольника относительно оси ординат равен ).

Полярный момент инерции (т.е. момент относительного начала координат) в этом случае выражается формулой: = + .

Пример 9. Вычислим момент инерции равнобедренного треугольника относительно его основания.

Решение. Расположим оси координат так, как показано на рисунке 65.

Пусть основание треугольника |AC|=b, высота |BO|=h. Прямая (BC) проходит через точки B (0;h) и C ( ). Ее уравнение = , т.е. y= . Ясно, что момент инерции треугольника ABC относительно оси Ox равен удвоенному моменту инерции треугольника BOC относительно той же оси. Значит,: = = - = = .