3. Теорема Гульдина-Паппа.

Выведем теоремы, связывающие площадь поверхности (соответственно, объем тела) вращения с центром тяжести вращающейся дуги (соответственно, криволинейной трапеции).

Пусть поверхность образована вращением дуги Г, имеющей длину l. Мы знаем, что ордината центра тяжести этой дуги выражается формулой:

= .

Так как площадь поверхности вращения выражается интегралом:

=2 , из этого следует, что: =2 .

Мы доказали следующее утверждение, называемое первой теорией Гульдина-Паппа.

Площадь поверхности, полученной от вращения кривой вокруг непересекающей ее оси, равна произведению длины l дуги этой кривой на длину окружности, описанной центром тяжести C этой кривой.

Аналогично, из формулы, выражающей ординату центра тяжести криволинейной трапеции:

= и формулы объема тела вращения: = - получаем = , т.е. следующее утверждение, называемое второй теоремой Гульдина-Паппа:

Объем тела, полученного от вращения плоской фигуры вокруг непересекающей ее оси, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести этой фигуры.

Пользуясь этими двумя теоремами, можно в ряде случаев упростить процесс вычисления поверхности или объема тела вращения.

Пример 6. Пользуясь теоремой Гульдина-Паппа, вычислим площадь поверхности и объема тора (рис. 62), образованного вращением круга радиуса a вокруг оси, расположенной в его плоскости и отстоящей от центра его на расстоянии b (a b).

Решение. Так как длина данной окружности равна 2 , а длина окружности, описанной центром тяжести ее, равна 2 , то поверхность тора по первой теореме Гульдина-Паппа равна:

= = .

Объем тора равен: = = .

Пример 7. Длина одной арки циклоиды = - ), = - равна , а площадь поверхности, образованной вращением ее вокруг оси Ox, равна . Вычислим площадь поверхности, образованной вращением той же арки циклоиды вокруг касательной в верхней ее точке (рис. 63).

Решение. Пусть - расстояние центра тяжести дуги от оси Ox, тогда по первой теореме Гульдина-Паппа: = , откуда: = .

наибольшая ордината кривой соответствует = и равна 2 , причем касательная в этой точке параллельна оси Ox; следовательно, расстояние h центра тяжести этой касательной равно: - = .

Таким образом, площадь поверхности, образованной вращением той же арки циклоиды вокруг касательной в верхней ее точке, равна: = = .

Пример 8. Найдем объем тела, полученного от вращения квадрата со стороной a вокруг оси Ox, если он расположен так, как показано на рисунке 64.

Решение. Центр тяжести C квадрата находится на пересечении его диагоналей. Обозначим через b расстояние центра тяжести Ox. Тогда по второй теореме Гульдина-Паппа искомый объем:

= =2 .