5. Другие положения интегрального исчисления к физике.

При решении физических задач изучаемый процесс разбивают на элементарные части, в пределах каждой из которых изменением соответствующих величин можно пренебречь. Теперь задача решается по формулам для постоянных величин, после чего окончательный ответ находится с помощью интегрирования.

а) Найдем работу силы при переходе материальной точки из A (a) в B (b), если материальная точка движется по прямой, причем величина силы зависит от координаты x этой точки: F=F (x).

Известно, что в случае, если сила постоянна, работа равна F , где - изменение координаты точки. Поэтому разобьем отрезок [a; b] на элементарные части, в пределах каждой из которых считаем силу постоянной. Тогда работа силы на участке [x; x+dx] равна F (x) dx. Общая работа выражается интегралом:

A= . (2)

Пример 10. Найдем работу, выполняемую при переносе материальной точки, имеющей массу m, из A (a) в B (b), если притягивающая ее по закону Ньютона точка имеет массу и находится в начале координат(рис. 66).

Решение. По закону Ньютона сила тяготения равна , где - гравитационная постоянная, а r - расстояние между точками. По формуле (2) получаем:

A= = .

б) Найдем работу, выполненную двигателем за промежуток времени [a; b], если мощность двигателя в момент времени t равна W (t).

За элементарный промежуток времени [t; t+dt] двигатель имеющий мощность W (t), выполняет работу dA=W (t) dt. Поэтому вся работа двигателя равна:

A= .

11