1. Вычисление статических моментов и координат центра тяжести материальной кривой.
а) Пусть материальная точка A массы m отстоит от оси l на расстоянии d. Статистическим моментом этой точки относительно оси l называют число md. Статистическим моментом системы материальных точек расположенных по одну сторону от оси l, массы которых равны , а расстояния от оси l равны , называют число:
= .
Если же эти точки расположены по разные стороны от оси, то для точек, находящихся по одну сторону оси, расстояния берутся положительными, а для точек по другую сторону от оси - отрицательными.
Поэтому если точки расположены на координатной плоскости, = ( ), то = и = ( - статистический момент относительно оси Ox; - относительно оси Oy).
б) Рассмотрим теперь случай, когда масса равномерно распределена по некоторой кривой Г или по некоторой области . Будем считать, что плотность распределения равна единице. Тогда масса дуги численно равна ее длине, а масса области - ее площади.
Начнем со случая кривой линии Г, задаваемой уравнением = , , причем предположим, что функция непрерывна и неотрицательна.
Как обычно, разобьем отрезок на части точками a= ... =b и обозначим через и наименьшее и наибольшее значения функции = на отрезке [ . Этому разбиению соответствует разбиение дуги Г на части (рис. 60).
Из физических соображений ясно, что статистический момент части относительно оси абсцисс заключен между и , где - длина этой части, = (напомним, что мы положили линейную плотность дуги равной единице).
Таким образом,:
.
Поэтому:
, т.е.:
.
Так как на отрезке [ ; ] выполняется неравенство: , то в тех же границах, что и , заключен интеграл .
Значит,:
= (1)
Этот интеграл обозначают также следующим образом:
или .
Физики обычно заменяют проведенное рассуждение более коротким. Они берут "бесконечно малый участок дуги" dl. Его статистический момент равен ydl. А статистический момент всей дуги равен сумме элементарных статистических моментов, т.е. . Преимуществом этого вывода является его наглядность. Однако в нем не определено, что такое "бесконечно малый участок дуги", или как еще говорят, "элемент дуги". При уточнении этого понятия мы вновь приходим к более длинному выводу, изложенному ранее. В дальнейшем для краткости изложения будем использовать принятый в физике метод рассуждений. С его помощью сразу выводим, что:
= = . (2)
Как формула (1), так и формула (2) верны и в случае, когда кривая Г пересекает оси координат.
в) Введем понятие центра тяжести.
Определение. Центром тяжести тела называется такая точка С, что если в ней сосредоточить всю его массу, то статический момент этой точки относительно любой оси будет равен статическому моменту всего тела относительно той же оси.
Обозначим через и расстояния центра тяжести кривой от осей ординат и абсцисс.
Тогда, пользуясь определением центра тяжести кривой, получим:
=l = ; = = .
Разрешая полученные равенства относительно и , найдем координаты центра тяжести плоской кривой Г:
= ; = .
Замечание. Если кривая расположена симметрично относительно некоторой прямой, то центр тяжести такой кривой находится на этой прямой.
Это замечание позволяет в некоторых случаях упростить нахождение координат центра тяжести плоской кривой.
Пример 1. Найдем статический момент полуокружности относительно диаметра.
Решение. Выберем систему координат так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а диаметр, относительно которого мы ищем статический момент, совпал с осью Ox. Тогда статический момент полуокружности относительно диаметра выразится формулой:
= , где dl= dx - дифференциал дуги кривой y= .
В выбранной системе координат уравнение полуокружности запишется так:
y= .
Тогда:
y'=- , 1+ =1+ = ,и потому dl= .
Следовательно,:
= =2R =2Rx| =2 .
Пример 2. Найдем центр тяжести четверти окружности + =4, расположенной в первом квадранте.
Решение. Данная кривая расположена симметрично относительно биссектрисы первого координатного угла, следовательно, центр тяжести этой кривой лежит на биссектрисе, а потому = .
Достаточно найти только , пользуясь формулой:
=
Вычисление проще провести, перейдя к параметрическим уравнениям окружности. Так как ее радиус равен двум, то для четверти окружности имеем:
.
Отсюда находим, что:
=-2 , = ,
dl= = =2dt.
Поскольку длина l четверти данной окружности равна = , то:
= = = .
- § 6.Приложения интегрального исчисления к решению физических задач
- 1. Вычисление статических моментов и координат центра тяжести материальной кривой.
- 2. Вычисление статических моментов и координат центров тяжести плоских фигур.
- 3. Теорема Гульдина-Паппа.
- 4. Вычисление моментов инерции.
- 5. Другие положения интегрального исчисления к физике.