Интегрирование функций нескольких переменных Двойной интеграл

Пусть в области D задана функция . Разобьем область D на частиD_i с площадями S_i, , выберем М_i(_i,_i) D_i и составим интегральную сумму

Двойным интегралом от функции по области D называется предел интегральных суммы при условии, что диаметр разбиения (т.е. длина наибольшей хорды) стремиться к нулю (0), если предел существует, конечен и не зависит от способа разбиения D на части D_i, , и от выбора в них точек М_i. Обозначение где ds - элемент площади; D - область интегрирования;- подинтегральная функция;- подинтегральное выражение.

Функция, для которой двойной интеграл существует, называется интегрируемой.

Так как значение двойного интеграла от , непрерывной вD, не зависит от вида элементарных частей, то разобьем D на малые прямоугольники со сторонами x_i и y_i прямыми, параллельными осям координат. При этом . Выбирая затем в каждом прямоугольнике т. М_i(_i,_i), можно записать: где ds=dxdy - элемент площади.

Так как определение двойного интеграла конструктивно аналогично определению определенного интеграла, то двойной интеграл обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл.

При вычислении двойной интеграл сводится к повторному по формуле:

Если граница области D может быть задана уравнениями: ,(), x=a, x=b (a<b), то двойной интеграл в этом случае вычисляется по первой части формулы, причем сначала вычисляется внутренний интеграл в котором переменная х считается постоянной, применяя формулу Ньютона-Лейбница получаем функцию зависящую только отx, после чего вычисляется внешний интеграл.

Если граница области D может быть задана уравнениями: ,(),y=c, y=d (c<d), то двойной интеграл в этом случае вычисляется по второй части формулы, причем сначала вычисляется внутренний интегралв котором переменнаяy считается постоянной, применяя формулу Ньютона-Лейбница получаем функцию зависящую только от y, после чего вычисляется внешний интеграл.

На практике, для определения пределов интегрирования, удобно первым шагом проецировать область на одну из осей, тем самым получая в качестве границ получившегося отрезка пределы внешнего интеграла, после чего двигаясь внутри области по прямым параллельным другой координате определять как граничные функции верхний и нижний пределы внутреннего интеграла. Таким образом внешний интеграл изменяется от точки до точки, внутренний – от функции до функции.

В некоторых случаях для расчетов бывает удобно перейти к новым переменным. Это целесообразно делать в тех случаях, когда уравнения границ области достаточно сложны.

Если в двойном интеграле произвести замену переменных: то где- Якобиан.

На практике наиболее распространен переход к полярным координатам: , якобиан при этом переходе не сложно вычислить .

Если говорить о геометрических приложениях двойного интеграла то:

1. Площадь плоской фигуры ограниченной областью D, определяется по формуле: .

2. Объем цилиндрического тела ограниченного сверху непрерывной поверхностью , снизу плоскостью, с боков цилиндрической поверхностью вырезающей на плоскости областьD вычисляется по формуле:

3. Если гладкая однозначная поверхность задана уравнением то площадь поверхности выражается формулой, гдеD–проекция поверхности на Oxy.