§17. Расширение класса кубируемых фигур

Пусть – множество всех фигур в пространстве, обладающих следующим свойством:

для любой фигуры и для любого числанайдутся такие два многогранных тела, чтои.

Из определения множества следует, что существуют точные грании, называемые соответственновнутренней и внешней жордановой мерой фигуры . Имеем:

.

Поскольку – произвольное положительное число, то. Числоназываютобъемом фигуры , а фигурукубируемой.

Тем самым определено отображение , удовлетворяющее аксиомам

V1. ;

V2. ;

V3. , где– куб, ребром которого является единичный отрезок.

По аналогии с теорией площадей, можно поставить следующий вопрос: всякие ли два равновеликих многогранных тела равносоставлены?

Решение этого вопроса сводится к решению III проблемы Гильберта: любые ли две пирамиды с конгруэнтными основаниями и конгруэнтными высотами равносоставлены?

Отрицательное решение этой проблемы дано немецким математиком Деном (1900 г.). Им введены необходимые условия равносоставленности многогранных тел. В 1965 году французский математик Сидлер доказал, что эти условия Дена являются также и достаточными.

Т е о р е м а. Два многогранных тела с двугранными углами ,, (,) равносоставлены тогда и только тогда, когда существуют такие целые положительные числа,и такое целое число, что.

В 1901 году Ден доказал, что равновеликие куб и правильный тетраэдр не равносоставлены.