Основные свойства функций ограниченной вариации

1. сумма и произведение двух функций ограниченной вариации являются также функциями ограниченной вариации;

2. если , то

3. функция f имеет ограниченную вариацию на отрезке [a,b] тогда и только тогда, когда она представима на этом отрезке в виде разности двух неубывающих функций.

4. множество точек разрыва для функции ограниченной не более чем счетно.

Теорема 2. Функция соответствует некоторому заряду по формуле g(t)=(a, t) тогда и только тогда, когда а) g – функция ограниченной вариации; б) ; в) g – непрерывна слева.

Определение. Заряд называется абсолютно непрерывным относительно меры , если из следует .

Заряд, заданный формулой (1), является абсолютно непрерывным.

Теорема (Радона-Никодима). Если заряд абсолютно непрерывен относительно меры , то существует интегрируемая по мере функция f такая, что для всех . Эта функция называется производной заряда по мере .