2. Вычисление статических моментов и координат центров тяжести плоских фигур.

Найдем статический момент прямоугольника со сторонами k и l относительно стороны k. Разобьем этот прямоугольник на элементарные прямоугольники, имеющие стороны k и dy (рис. 61). Масса элементарного прямоугольника равна его площади kdy (напоминаем, что по предложению плотность распределения массы равна единице). Поэтому элементарный статический момент равен ky dy, а статический момент всего прямоугольника равен:

= = . (1)

Теперь уже легко найти статический момент криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой = , где - непрерывная и неотрицательная функция на отрезке [a;b], снизу осью абсцисс, а с боков прямыми x=a, x=b.

Разобьем криволинейную трапецию на элементарные прямоугольники, основание каждого из которых равно dx и высота y. Статический момент такого прямоугольника относительно оси абсцисс по формуле (1) равен . В случае когда не выполняется предположение о не отрицательности функции y= , эту формулу надо заменить такой:

= - (части фигуры, расположенные ниже оси абсцисс, дают отрицательный вклад в ).

Поскольку по предположению плотность равна единице, то масса криволинейной трапеции равна ее площади, т.е. интегралу , а потому ордината центра тяжести этой трапеции выражается формулой:

= .

Нетрудно найти и статический момент криволинейной трапеции относительно оси ординат. Для этого достаточно заметить, что расстояние элементарного прямоугольника от этой оси равно x. Поэтому его статический момент равен x|y|dx, а статический момент всей трапеции выражается формулой:

= .

Следовательно, абсцисса центра тяжести выражается так:

= .

Пример 3. Найдем статический момент (относительно оси Ox) фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной аркой циклоиды: x= - , y= - .

Решение. Так как параметр t одной арки циклоиды изменяется от 0 до 2 , то:

= - - = - = -3 + + -( - ))| = + = .

Пример 4. Найдем центр тяжести фигуры, ограниченной осью Ox и одной полуволной синусоиды y= .

Решение. Так как фигура под полуволной синусоиды расположена симметрично относительно прямой x= , то центр тяжести лежит на этой прямой и, следовательно, = . Ордината центра тяжести находится по формуле:

= .

Так как:

= =- =2, то = = .

Итак, центр тяжести данной фигуры находится в точке ( .

Пример 5. Найдем центр тяжести фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной циклоиды x= - , y= - .

Решение. Данная фигура расположена симметрично относительно прямой x= , следовательно, центр тяжести ее находится на этой прямой, и потому = . Найдем по формуле:

= .

Площадь S данной фигуры была вычислена раньше, она равна 3 . Следовательно, = - = .

Центр тяжести данной фигуры находится в точке ( .