Лекция 5. Аксиоматика плоскости Лобачевского. Элементарные теоремы планиметрии Лобачевского §8. Независимость аксиомы параллельных от остальных аксиом евклидовой геометрии

Чтобы доказать независимость аксиомы 5.1 параллельных от аксиом абсолютной геометрии, достаточно показать непротиворечивость системы аксиом

,

где −аксиома Лобачевского – отрицание аксиомы параллельных.

: Через точку вне прямой проходят, по крайней мере, две прямые, не пересекающие данную прямую.

Построим модель Кэли-Клейна системы аксиом .

Пусть ω – окружность с центром , радиуса,– круг с границей ω,множество внутренних точек круга.

Неевклидовой точкой назовем любую точку множества;неевклидовой прямой – любую хорду без концов окружности ω (обозначение: , где).

Отношения «принадлежать», «лежать между» будем понимать в обычном смысле. Выполнение аксиом I – II группы легко проверить.

Наложением назовем любое Λ-преобразование множества Ω: биекцию Ω на себя, при которой внутренние точки переходят во внутренние, а граничные – в граничные, хорда окружности ω переходит в хорду этой же окружности так, что сохраняется сложное отношение четырех точек хорды: , где

.

Примерами Λ-преобразований являются сужения на множестве Ω движений плоскости, переводящих точку в себя. К ним, в частности, относятся тождественное преобразование, поворот вокруг точки, симметрия относительно прямой, содержащей диаметр окружности ω.

Используя свойства Λ-преобразований, можно показать выполнение всех аксиом системы .