2. Высказывания, высказыват. Формы, торемы.
Высказыванием в математике называют предложение, относительно которого имеет смысл вопрос: ИСТИННО ОНО ИЛИ ЛОЖНО. Обозначается – С(х,у) – высказ форма, содержащая три элемента Х+5=8 одноместная высказ форма; Прямая Х параллельна прямой У. – двухместная высказ форма.
Областью определения высказывательной формы называется множество, их которого выбираются значения переменных, входящих в высказ форму. (Одноместной высказывательной формой, заданной на множестве Х, называется предложение с переменной, которое обращается в высказывание при подстановке в него значений переменной из множества Х). Множество таких значений переменных, при которых высказ форма обращается в истинное высказывание – называется множеством истинности. (Обозн - Т). Предложения, образованные из других предложений с помощью логических связок, называют составными (Число 28 – чётное и делится на 7), остальные назвы. элетарными.
Логические операции: «И» - Конъюнкция, «ИЛИ» - Дизъюнкция, «НЕ» - отрицание. Конъюнкцией высказываний А и В – называется высказывание А^B, которое истинно, когда оба высказывания истинны, и ложно, когда хотя бы одно из этих высказываний ложно.
Дизъюнкцией высказываний А и В – называется высказывание АvB, которое истинно, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний, и ложно, когда оба высказывания ложны. Отрицание высказывания А называется высказывание НЕ А, которое ложно, когда высказывание А истинно , и истинно, когда высказывание А – ложно.
Закон де моргана НЕ(АvB) ↔ неА^неB; НЕ(А^B) ↔ неА v неB.
Высказывания с кванторами В формулировках математических предложений часто встречаются слова «каждый», «все», «некоторые», «хотя бы один», «в любом». Это другой способ получения высказываний из высказывательных форм.
Квантор общности «для всякого Х» обозн перечёркнутой галочкой ( также «каждый», «любой» )
Квантор существования «существует Х такое, что…» обозн перевёрнутой заглавной Е (также употребл. «некоторые», «найдётся», «хотя бы один». Если задана одноместная высказ форма А(х), то чтобы превратить её в высказывание, достаточно связать квантором общности или существования содержащуюся в ней переменную. Если двухместная высказ форма, то связать надо каждую переменную. В формулировках определений и теорем часто кванторы «спрятаны», надо уметь их видеть. Напр. «Вертикальные углы равны» - квантор общности
Отношение следования и равносильности между предложениями: 1.Высказ. форма В(х) следует из А(х), если В(х) обращается в истинное высказывание при всех тех значениях х, при которых А(х) истинна (Всякое число, которое кратно 4, кратно и 2. Если число кратно 4 , то оно кратно и 2). Предложения А(х) и В(х) равносильны, если из А(х) следует В(х), а из В(х) следует А(х).(2 уравнен. равносильны на на некотор. множ-ве, если решения совпадают или нет реш на дан. множестве).
Структура Теоремы. Теорема- это высказывание, истинность которого устанавливается посредством рассуждения (доказательства). А→В, где А и В высказывательные формы с одной или несколькими переменными. А – условие, В – заключение. Можно сформулировать предложение если не А, то не B — противоположн. данному (не теорема), Это предложение будет являться теоремой, если оно истинно. Для всякой теоремы если А, то B можно сформулировать «если не В, то не А» - обратно противоположное данной. (Напр. «Если четырёхугольник явл прямоугольником, то в нём диагонали равны». Предл обратное противоположному будет: «Если в четырёхугольнике диагонали не равны, то он не является прямоугольником» будет явл теоремой, так как истинно. Закон контрапозиции – предложение обратно противоположное какой-либо теореме, тоже будет являться теоремой. Предложения обратное данному и противоп. данному одновременно истинны и ложны.
2 Методика ознакомления с сотавными задачами. При решении составной задачи появляется еще одна операция – поиск недостающего данного для ответа на поставленный вопрос. К выполнению этой операции школьников необходимо готовить при решении простых задач. Приёмы: 1. Использование задач с недостающими данными; 2. Решение пар простых задач, в которых ответ первой задачи, является одним из данных во второй задаче - заменяют составной; 3. Решение задач с двумя вопросами. Можно поменять вопросы местами и спросить, на какой из двух вопросов мы можем ответить сначала. Ситуация приобретает новый характер: ученик видит, что для ответа на один вопрос ему хватает данных, а на другой – нет и выстраивает вопросы в нужной последовательности; В одном цехе 10 станков, а в другом на 4 станка меньше. Сколько станков во втором цехе? В одном цехе 10 станков, а в другом станков. Сколько всего станков в двух цехах? Сначала предлагается решить вторую задачу и недостающее данное (задачу) учащиеся находят сами. Из двух задач составляется одна, но с двумя вопросам. Учитель выясняет, в какой последовательности надо отвечать на вопросы. Эта задача сравнивается с предыдущими: там только один вопрос. Учащиеся предлагают второй вопрос – суть решения составной задачи. Учить решать задачи – значит учить устанавливать связи между данными и искомым и, в соответствии с этим, выбирать и выполнять арифметические действия. В начальных классах ведётся работа над группами задач, решение которых основывается на одних и тех же связях между данными и искомым. Отличаются друг от друга конкретным содержанием и числовыми данными. Группы таких задач называются задачами одного вида.
Этапы: Подготовительная работа к решению задач. Может быть или не быть, если вводится задача нового вида; Чтение и осмысливание текста (предмнтн.действия, краткая запись, схемат. рисунок, таблица); Поиск пути решения, разбор и анализ текста, составление плана; Запись решения и ответа; Работа над задачей после ее решения. Методические приемы: Фронтальная беседа. Наглядная интерпретация. Сравнение задач. Преобразование задач. Рассматривание текстов с недостающими или избыточными данными. Составление задач детьми. Решение различными способами. Проверка решения задачи. Ученик должен узнавать задачу: - предложить детям несколько текстов, чтобы они назвали те, которые являются задачами. Разбор текста – ученик должен выделить условие и требование в задаче. О чем эта задача? О чем еще говорится, что известно (проговаривается по условию). Говорится ли в условии о времени движения? Можно спрашивать, что означает каждое число. Какой вопрос? Надо обращать внимание на важные слова в тексте. По ходу разбора (или после) делается краткая запись. Критерии краткой записи: должна отражать связи между компонентами.
Поиск решения – 2 способа:Аналитический способ (от вопроса к данным) - Что нужно знать, чтобы определить цену? Известно ли сколько купили сукна? Известна ли стоимость сукна? Сколько заплатили? Что нужно знать, чтобы определить стоимость сукна? Почему? Известна ли стоимость шелка? Что надо знать, чтобы узнать стоимость шелка? Синтетический метод анализа задачи. (от данных к искомому) Что можно определить, зная, что купили 14 м шелка и цена шелка – 6 рублей? .Что можно определить, зная, что было куплено 4 м сукна и 14 м шелка? Аналитико-синтетический метод разбора - и то и др.
Решение может быть записано: По действиям Выражением Уравнением. Запись с помощью выражения: Постепенная запись выражения с пояснениями. Постепенная запись выражения без записи пояснений. Запись выражения без записи вспомогательных выражений и пояснений. Запись решения в виде уравнения Постепенное составление уравнения с записью пояснений. Постепенная запись уравнения без записи пояснения: Решения в виде отдельных действий.( с пояснен, без них, как вопросы)
2/6 =
Б-13
№2
Умозаключение - форма мышления
Из посылок - заключение
Виды умозаключений:
Дедуктивное - из посылок следует заключение (истинные посылки - истинное заключение)
Неполная индукция - некоторые объекты класса обладают свойствами, сделовательно все объекты класса обладают свойствами. (м.б.ложный вывод, нужна проверка)
Аналогия - сходство в некоторых признаках двух объектов, следовательно дополнительный признак тоже сходен (это скорее предположение)
Правила: заключения, отрицания, силлогизма.
Способы математического доказательства:
1 . дедуктивный вывод
Нужно учитывать четыре закона:
- тождества
- непротиворечия
- исключенного третьего
- достаточного основания
Бывают прямые доказательства и косвенные:
косвенные -
* метод от противного
* полная индукция
* математическая индукция (доказать истинность при н=1, н=к, н=к+1)
№3 (нет про тетради и проверку д.з.)
Контроль - выявление,измерение и оценивание знаний и умений.
Проверка ЗУН может быть:
- предварительной
- текущей
- контрольной
- итоговой
- инстпекторской
Методы проверки:
* устный опрос (индивидуальный, фронтальный)
* текущее наблюдение
* письменная проверка
* практическая проверка
* программированная проверка
* комбинированный или уплотненный контроль (сочетание методов)
Требования к проверке:
1. систематичность
2. всесторонность
3. объективность
4. индивидуальность в сочетании с коллективностью
5. дифференцированность
6. разнообразие форм
7. этичность
Диагностика - берет результат вместе с процессом, не отделяет ученика от учителя.
Оценка может быть:
- эмоциональное отношение
- оценочное суждение (словесное поощерение или порицание)
отметка
Б-14
№1.
Множество - группы объектов, которые рассматриваются в математике как единое целое.
Обозначают заглавными буквами. Мн-ва могут быть пустыми.
Объекты - элементы множества
Обозначают строчными буквами.
Множества бывают конечные и бесконечные, для некоторых приняты устоявшиеся обозначения.
Операции над множествами:
1. пересечение
2. объединение
Разбиение мн-ва на классы.
Должно соблюдаться два условия:
- подмножества попарно не пересекаются
- объединение их совпадает с множеством
Если мн-во разбито на два класса - это дихотомическая классификация.
Соотвествия между множествами - взаимно однозначное соотвествие
Если такое можно установить, то говорят, что кол-во элементов одинаково и мн-ва равномощны.
Мн-ва равномощные мн-ву натуральных чисел - счетные мн-ва.
Бесконечное мн-во может быть равномощно своему подмножеству.
№2.
Виды упражнений:
1. Найти значение выражения (числового или буквенного)
2. С величинами (в виде фигуры, ромашки)
3. Сравнение математических выражений
4. Нужно дополнить выражения
5. Сравнение выражений с переменной
6. Решение уравнений
7. задачи - простые и составные
Устный счет - 15-20 примеров, 1-2 задачи.
№3.
Александр 1 (1801-1825) - реформа структуры просвещения. Начало создания нац. системы образования.
1802 - манифест об учреждении Министерства народного просвещения (МНП) - орган управления учебными заведениями.
6 учебных округов:
- Петербургский
- Московский
- Казанский
- Харьковский
- Виленский
- Дерптский
Было 4 типа учебных заведений:
1. приходские училища (1 год)
2. уездные училища (2 года)
3. гимназии (4 года)
4. университеты (к 1819 - в каждом округе)
Специальные вузы - Технологический, коммерческое училище, горный, путей сообщения институты.
Из-за разделения на сословия появились для лицея (для дворян).
Приравнивалось к универу. 6 лет (по 3 года две ступени - начальную, окончательную).
Каждые полгода - экзамены, в конце года - переводной экзамен.
Независимы от МНП - конфессиональные заведения и частные школы.
Возникла система высшего пед. обр.
1803 - Петербургская учительская семинария - была преобразована в институт.
У каждого универа - свой пед. институт. (3 года обучения)
1851 - кафедра педагогики при МГУ (Шевырев).
Николай 1. (1825 - 1855) Декабристкое восстание 1825 года.
Пушкин "О народном просвещении" (записка).
Гос обучение дворян, убрать телесные наказания для военных заведений.
Обратить на внимание на воспитание духовенства.
1828 - "Устав гимназий и училищ, состоящих в ведении универов"
(учебные заведения разделились по сословиям).
1834 - "Положение о домашних учителях"
(рос подданный, христианин, иметь рекомендацию)
1835 - "Положение об учебных округах" "Устав универов" (8 округов - Одесский, Белорусский)
Реформатор - граф Уваров (президент РАН), упорядочил систему школьного образования.
Принцип сословности хорошо повлиял. Разделене четкое между общеобразовательной и специальной школой.
Первые специальные пед. издания "Патриот", "Пед.журнал", "Библиотека для воспитания".
Одоевский (1804-1869)
Писал: руководства и пособия для начальных училищ, "Сказки дедушки Иринея".
ВЫступал за национальные основы воспитания в школе.
В воспитании важен личный пример учителя.
Важны духовные наставления.
Белинский (1811-1848) - критик, философ, педагог.
На первое место ставил нравственное воспитание в семье.
Родительская любовь - орган воспитания.
Педагог должен учитывать природные задатки и качества.
1 ступень (началка) - факты, события, явления.
2 ступень (повышенная) - их изучают во взаимосвязи.
Важна систематичность, которая связана в одну картину мира.
Критиковал оправдание безнравственного поведения материальными успехамив жизни.
Билет 14 Понятие множества Множествами называются те или иные группы объектов рассматриваемые в математике как единое целое: (натуральные числа, треугольники) Обозначают множество прописными буквами латинского алфавита: А, В, Множество не содержащее ни одного объекта, называется пустым =Ø. Объекты, из кот. образовано множество, называется элементами. Элементы множества обозначают: а, в. Множества бывают конечные и бесконечные. (Конечные: дни недели, множество месяцев в году. Бесконечные: мн-во точек на прямой, натуральных чисел.) Для ряда числовых множеств в математике приняты стандартные обозначения Операции над множествами: Пересечением множеств А и В называется множество, которое состоит из тех элементов, которые принадлежат как множеству А так и мн-ву Чтобы найти АΩВ, достаточно перечислить элементы, которые одновременно принадлежат множеству А и множеству В, т.е. их общие элементы. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В. Объединение множеств Аи В обозначают АUВ. Если элементы множеств А и В перечислены, то, чтобы найти АUВ, достаточно перечислить элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В. Понятие разбиения множества на классы: Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества. При этом считают, что множество Х разбито на классы Х1, Х2, если: подмножества попарно не пересекаются; объединение подмножеств совпадает с множеством Х. Если на множестве Х задано одно свойство, то это множество разбивается на два класса. Первый – это класс объектов, обладающих этим свойством, а второй – дополнение первого класса до множества Х. Сравнение множеств. Если из элементов двух множеств можно составить пары таким образом, чтобы каждому элементу первого множества соответствовал определенный элемент второго множества, а каждому элементу второго соответствовал один и только один элемент первого множества, то между такими двумя множествами установлено взаимно однозначное соответствие. Чтобы установить взаимно однозначное соответствие, необязательно пересчитывать элементы множеств. Если между двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие, то они имеют одинаковое количество элементов или равномощны. Если же при любом способе образования пар некоторые элементы из первого множества остаются без пары, то говорят, что первое множество содержит больше элементов, чем второе. Понятие мощности конечных множеств позволяет сравнивать их по количеству элементов. Множество натуральных чисел равномощно множеству нечётных чисел, так как между ними можно установить взаимно однозначное соответствие, например, по следующему правилу: 1 2 3... n ... ↕ ↕ ↕ ↕ 1 3 5... 2 n – 1
Так как множество нечётных чисел является подмножеством натуральных чисел, то этот пример показывает, что бесконечное множество может быть равномощно своему подмножеству.
- 1. Руссо, Гербарт и православн.Пед.
- 2. Высказывания, высказыват. Формы, торемы.
- 2. Развивающий аспект и устный счёт (дописать разв)
- 2. Бинароное отношение на множестве.
- 3. Методика работы с простыми задачами.
- 3. Работа над художественным произведением.
- 2. Классификация морфем Основа слова
- 3. Внетекстовые элементы букваря.
- 2. Работа с крупогабаритными произведениями.
- 3. Пед.Деят-ть к.Д.Ушинского . (1824-1870)
- 2. Местоимение как часть речи
- 3. Формирование у детей лингвистических понятий,
- 2. Деление с остатком (определение, теорема о существовании деления с остатком).
- 2.Площадь фигуры. Вывод формулы площади прямоугольника. Равносоставленность и равновеликость фигур.