Фундаментальная и компьютерная алгебра

Подсистемы алгебраических систем

Непустое подмножество алгебраической системы G называется подсистемой, если оно замкнуто относительно всех операций, входящих в сигнатуру системы. Тем самым H можно рассматривать как алгебраическую систему с той же самой сигнатурой.

Если алгебраическая система имеет специальное название (моноид, группа, кольцо, поле), то название подсистемы получается прибавлением приставки «под» к этому названию (подмоноид, подгруппа, подкольцо, подполе).

Например, ℚ есть подполе поля ℝ. В этом случае говорят, что большее поле есть расширение меньшего. Верхнетругольные (нижнетреугольные) матрицы n×n составляют подкольцо в кольце Mat(n×n;R). Вообще в алгебре матриц очень много подколец. Пусть (K – поле). Обозначим

-- алгебру, порожденную над К матрицей A. Свойства этой алгебры отражают свойства матрицы А. В частности, унитарный многочлен наименьшей степени с коэффициентами из поля К такой, что называется минимальным многочленом матрицы А, и его степень совпадает с размерностью K[A] как линейного пространства над K.

В группе обратимых n×n-матриц над полем (или кольцом) К (обозначается GL(n,K) и называется общей линейной группой) также много подгрупп:

SL(n,K) – группа n×n-матриц с единичным определителем, называемая специальной линейной группой.

UT(n,K) – группа верхнетреугольных матриц с единицами на главной диагонали

Diag(n,K) – группа обратимых диагональных матриц

SL(2,ℤ ;p) -- группа унитарных целочисленных матриц, у которых на побочной диагонали стоят элементы кратные p. Это, так называемая конгруэнц-подгруппа.

Содержание