19. Алгебраические свойства матриц. Понятие обратной матрицы. Применение
обратных матриц к решению систем линейных уравнений.
Алгебраические свойства матриц. Нам знакомы алгебраические свойства чисел. Закон перестановочный и сочетательный по умножению и сложению, а также распрелеоительный.
a+b=b+a; (a+b)+c=a+(b+c); a(b+c)=ab+ac; ab=ba; (ab)c=a(bc)
Для матриц часть законов справедливы, но не все. Нарушается только перестановочность по умножению. Пример: В первых при перестановки матриц умножение может терять смысл. Но даже если умножение возможно и получаются матрицы одинакового размера они могут не совпадать.
Для этих законов (св-в) были приняты другие названия: Коммутативность, Ассоциативность, Дистрибутивность.
Для чисел существ. единицы слож и умнож, т.е. нейтр. эл-ты. (а+0=а; а*1=а). Для матриц очевидны единицы по слож. Это матрицы с нулевыми эл-ми. Для каждого размера своя нулевая матрица (А+0=А). По умножению также существуют единицы, это кв-ные матрицы с единицами на главной диагонали и с нулями на остальных местах. Эту матрицу принято называть единичной. Для кажого размера своя единичная матрица.
Для чисел мы знаем обратные эл-ты по слож и умнож (а+(-а)=0; а-а-1=1; а≠0). Для матриц обратные по слож очевидны. А с обратными по умножению дело обстоит гораздо сложнее. Обратыне эл-ты сущ только у кВ-ных матриц, причем не у всех. Формулы существ, но используют так называемые определители.
Применение. Пусть система линейных алгебраических уравнений задана в матричной форме , где матрица A имеет размерность n на n и ее определитель отличен от нуля.
Так как , то матрица А – обратима, то есть, существует обратная матрица . Если умножить обе части равенства на слева, то получим формулу для нахождения матрицы-столбца неизвестных переменных . Так мы получили решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом.
- 1. Понятие первообразной. Свойства первообразных.
- 2. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.
- 3. Основные методы нахождения неопределенных интегралов.
- 4. Формула интегрирования по частям и ее вывод.
- 5. Интегрирование рациональных выражений. Деление многочленов.
- 6. Интегрирование рациональных выражений. Разложение в сумму элементарных дробей.
- 7. Интегрирование рациональных выражений. Интегрирование элементарных дробей.
- 8. Интегрирование тригонометрических выражений.
- 9. Гиперболические функции.
- 10. Понятие интегральной суммы. Определение определенного интеграла.
- 11. Теорема о формуле Ньютона-Лейбница.
- 12. Теорема о производной определенного интеграла по верхнему пределу
- 13. Приложение определенного интеграла к вычислению площади области
- 14. Полярные координаты и вывод формулы площади криволинейного сектора.
- Площадь криволинейного сектора
- 15. Приложение определенного интеграла к вычислению длины кривой, заданной
- 16. Комплексные числа: определение, обозначения, термины, арифметика.
- 17. Тригонометрическая и экспоненциальная форма комплексного числа.
- Геометрический смысл умножения комплексных чисел:
- 18. Матрицы: определение, арифметика матриц. Связь матриц и систем линейных
- Связь матриц и систем линейных уравнений
- 19. Алгебраические свойства матриц. Понятие обратной матрицы. Применение
- 20. Определитель матрицы: определение, свойства, способы вычисления.
- 21. Применения определителей: правило Крамера, формула векторного произведения, формула смешанного произведения.
- 22. Векторы. Определения. Понятия равенства векторов и свободных векторов.
- 23. Понятия линейной комбинации, линейной зависимости векторов, коллинеарности,
- 24. Базис и система координат. Координаты вектора. Координаты точки.
- 25. Скалярное произведение: определение, свойства, формула нахождения
- 26. Понятие правой тройки векторов. Связь этого понятия с понятиями векторного
- 27. Векторное произведение: определение, свойства, формула вычисления через
- 28. Смешанное произведение: определение, свойства, формула вычисления
- 29. Уравнения плоскостей в пространстве общее, явное,
- Формула расстояние от точки до плоскости
- 30. Уравнения прямых в пространстве общие, параметрические, канонические,
- 31. Примеры задач о плоскостях и прямых в пространстве, и методы их решения.
- 32. Дифференцируемость функции нескольких переменных.
- 33. Градиент и его свойство ортогональности. Формулы касательной прямой к кривой
- 34. Частные производные высших порядков: обозначения, независимость от
- 35. Понятие полного дифференциала. Признак полного