logo search
математика

19. Алгебраические свойства матриц. Понятие обратной матрицы. Применение

обратных матриц к решению систем линейных уравнений.

Алгебраические свойства матриц. Нам знакомы алгебраические свойства чисел. Закон перестановочный и сочетательный по умножению и сложению, а также распрелеоительный.

a+b=b+a; (a+b)+c=a+(b+c); a(b+c)=ab+ac; ab=ba; (ab)c=a(bc)

Для матриц часть законов справедливы, но не все. Нарушается только перестановочность по умножению. Пример: В первых при перестановки матриц умножение может терять смысл. Но даже если умножение возможно и получаются матрицы одинакового размера они могут не совпадать.

Для этих законов (св-в) были приняты другие названия: Коммутативность, Ассоциативность, Дистрибутивность.

Для чисел существ. единицы слож и умнож, т.е. нейтр. эл-ты. (а+0=а; а*1=а). Для матриц очевидны единицы по слож. Это матрицы с нулевыми эл-ми. Для каждого размера своя нулевая матрица (А+0=А). По умножению также существуют единицы, это кв-ные матрицы с единицами на главной диагонали и с нулями на остальных местах. Эту матрицу принято называть единичной. Для кажого размера своя единичная матрица.

Для чисел мы знаем обратные эл-ты по слож и умнож (а+(-а)=0; а-а-1=1; а≠0). Для матриц обратные по слож очевидны. А с обратными по умножению дело обстоит гораздо сложнее. Обратыне эл-ты сущ только у кВ-ных матриц, причем не у всех. Формулы существ, но используют так называемые определители.

Применение. Пусть система линейных алгебраических уравнений задана в матричной форме , где матрица A имеет размерность n на n и ее определитель отличен от нуля.

Так как , то матрица А – обратима, то есть, существует обратная матрица . Если умножить обе части равенства на слева, то получим формулу для нахождения матрицы-столбца неизвестных переменных . Так мы получили решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом.