Изоморфизм алгебраических систем

Пусть -- две алгебраические системы c одной бинарной операцией, а -- отображение. Отображение ϕ называется гомоморфным относительно пары бинарных операций , если

для любых . Аналогично определяется гомоморфность относительно пары унарных операций :

Гомоморфность относительно пары 0-арных операций означает просто, что .

Если -- алгебраические системы с одной и той же сигнатурой то отображение называется гомоморфизмом, если оно гомоморфно относительно всех пар соответствующих операций, входящих в сигнатуру этих систем. Если , кроме того сюръективно, то оно называется эпиморфизмом. Если , кроме того инъективно, то оно называется мономорфизмом. Если , кроме того биективно, то оно называется изоморфизмом. Изоморфизм алгебраической системы на себя называется автоморфизмом. Таковым, например, будет тождественное отображение .

Если существует изоморфизм между алгебраическими системами, то такие системы называются изоморфными, и они в этом случае неразличимы с точки зрения алгебры. Класс всех алгебраических систем фиксированной сигнатуры распадается на классы изоморфных между собой систем, ибо изоморфизм есть отношение эквивалентности.

ПРИМЕР. Группы изоморфны. Изоморфизм задается хорошо известным отображением , обратный к которому будет .

7. Группы

Г руппы исторические появились как семейства преобразований множества, удовлетворяющие следующим положениям: 1) вместе с любыми двумя преобразованиями в это семейство входит и их композиция, т.е. последовательное выполнение данных преобразований, 2) любое преобразование из этого семейства биективно, и обратная биекция также принадлежит семейству, 3) тождественное преобразование обязательно входит в любую группу преобразований. Заметим, что в этом случае фундаментальный алгебраический закон ассоциативности автоматически выполняется (см. диаграмму в § «Матричная алгебра»). Таким условиям удовлетворяет, например, совокупность всех движений евклидовой плоскости, оставляющих данный равносторонний треугольник ΔABC на месте (см. рис. 1 ). Обозначим эту совокупность движений Sym(Δ ) и назовем ее группой симметрий треугольника. В этой группе шесть элементов -- тождественное преобразование Id, два вращения R_120, R_240 на углы и относительно центра O треугольника и три симметрии относительно медиан этого треугольника. Имеют место равенства

В частности из этих равенств следует, что в группа Sym(Δ ) не абелева. Обратным преобразованием к симметрии является эта же симметрия, обратное преобразование к повороту на есть поворот на и наоборот.

Другой пример группы преобразований множества -- совокупность всех биекций конечного множества из n элементов на себя. Получается так называемая группа подстановок, которая отдельно изучается.

Примеры абелевых числовых групп.

1. Единичная группа {1} относительно умножения или нулевая группа {0} относительно сложения.

2. Группа (ℤ ,+) целых чисел по сложению.

3. Группа положительных рациональных (действительных ) чисел по умножению

4. Группа всех ненулевых рациональных (действительных ) чисел по умножению.

5. Группа знаков {± 1} по умножению.

Подмножество H группы G будет подгруппой, если оно содержит нейтральный элемент e и вместе с каждыми двумя элементами содержит и . Например, подмножество положительных действительных чисел будет подгруппой в мультипликативной группе ℝ*. Подгруппа есть сама по себе группа относительно индуцированного закона умножения. Множество, состоящее из одного нейтрального элемента, а также вся группа заведомо будут подгруппами; остальные подгруппы называются собственными.

Если фиксировать элемент g группы G и рассмотреть все его степени , то это множество образует подгруппу в силу свойств и определений

Она обозначается gr〈g〉 и называется циклической подгруппой, порожденной элементом g. Если G= gr〈 g〉, то группа G целиком состоит из степеней элемента g. Тогда группа G называется циклической.

ПРИМЕР. Обозначим через U -- семейство всех поворотов декартовой плоскости относительно начала координат. Относительно композиции, U будет абелевой группой. Поворот на угол  обозначим . Рассмотрим поворот на и порожденную им подгруппу: . Она содержит четыре элемента. В этом случае будем говорить, что элемент имеет порядок четыре. Итак,

есть циклическая группа из четырех элементов (по другому -- порядка четыре) относительно последовательного выполнения поворотов. Если вместо взять угол в один радиан, то для любого натурального, а значит и для любого целого числа m. Это неравенство вытекает из иррациональности числа π. Получаем бесконечную циклическую группу . Бесконечной циклической группой будет и группа целых чисел по сложению -- в ней вместо степеней мы пишем . Группа (ℤ ,+) порождается как элементом 1, так и элементом -1; другие ненулевые элементы порождают собственные подгруппы.