Некоторые свойства реберных графов

Рассмотрим множество X всех ребер графа G как семейство двухвершинных подмножеств множества V(G). Реберным графомграфа G - обозначается L(G)- называется граф пересечений(X). Таким образом, вершинами графа L (G) являются ребра графа G и две вершины графа L (G) смежны тогда и только тогда, когда смежны соответствующие им ребра графа G. Если x = uv - ребро графа G, то ясно, что степень вершиныxв графе L (G) равна degu + degw - 2. Два примера графов и их реберных графов приведены на рис. Заметим, что на этом рисунке G2=L(G1), так что L(G2) = L (L (G1)). Запишем L1 (G)=L (G),

L2 (G)=L (L (G)) и в общем случае определим итерированный реберный графрекуррентным соотношением Lⁿ(G)=L(L^n-1(G)), n>2.

Непосредственно из определения графа L (G) вытекает, что каждая точка сочленения графа L (G) есть мост графа G, не являющийся концевым ребром, и обратно.

Если определен некоторый класс графов, то полезно знать оценку числа вершин и ребер в каждом графе данного класса. Это легко сделать для реберных графов.

Теорема.Если G - это (р,q)-граф с вершинами, имеющими степени di, то L (G) имеет q вершин и qL ребер, где

qL=-q+1/2Edf.

Доказательство. По определению реберного графа граф L (G) имеет q вершин. Каждые di ребер, инцидентных вершине vi дают вклад (di,2) в число ребер графа L(G), так что

qL = E(di,2) = 1/2Edi(di-1) = 1/2Edi*di - 1/2Edi = 1/2Edi*di - q

Следующий результат вы можете установить многими разными способами в зависимости от вашего желания.

Теорема.Связный граф G изоморфен своему реберному графу L (G) тогда и только тогда, когда G - простой цикл.

Таким образом, для графа G (не обязательно связного) G=L(G) тогда и только тогда, когда G — регулярный граф степени 2.

Если графы G1 и G2 изоморфны, то, очевидно, что графы L(G1) и L(G2) также изоморфны. Уитни установил, что обратное справедливо почти всегда, и указал при этом единственную пару различных графов, имеющих один и тот же реберный граф. Доказательство, данное здесь, принадлежит Юнгу.

Теорема.Пусть G и G'— связные графы, у которых реберные графы изоморфны. Графы G и G' изоморфны всегда, кроме случая, когда один из них есть Кз, а другой K₁,з

Доказательство. Заметим сначала, что среди связных графов с не более чем четырьмя вершинами единственной парой различных графов с изоморфными реберными графами являются Кз и К_1,3, Кроме того, нетрудно видеть, что изоморфизмграфа G на граф G' индуцирует изоморфизм1 графа L(G) на граф L(G'). Докажем более сильный результат, из которого будет следовать наша теорема.

Если в графах G и G' более четырех вершин, то любой изоморфизм 1 графа L (G) на граф L (G ) индуцируется точно одним изоморфизмом графа G на граф G'.

Прежде всего, докажем, что 1 индуцируется не более чем одним изоморфизмом. Предположим противное, т. е. что имеются два таких изоморфизма, скажеми, и покажем, что(v)=(v) для любой вершины v графа G. В самом деле, в графе G существуют два ребраx=uv иy=vw или два ребраx=uv иy=uw. Еслиy=vw, то обе вершины(v) и(v) принадлежат каждому из ребер(x) и(y). Но поскольку у этих ребер только одна общая вершина, то(w) =(u). Аналогично рассматривается случайv=uw: так как ребро1(х) содержит две вершины(v) и(u)=(u), то опять имеем(v)=(u). Следовательно,1 индуцируется самое большее одним изоморфизмом графа G на граф G'.

Докажем теперь существование изоморфизма , индуцирующего. Сначала покажем, что ребра x1 =uv1, x2=uv2 и x3=uv3 подграфа K_l,3 графа G должны переходить при отображениив ребра подграфа К_1,3графа G'. Пусть у — другое ребро, смежное по крайней мере с одним из ребер xi и такое, что оно смежно или с одним, или сразу с тремя ребрами xi. Такое реброyсуществует в любом графе с р> 5 вершинами, а для P<5 теорема тривиальна. Если три ребра1(х) образуют не К_1,3, а треугольник, то ребро1 (у) должно быть смежно точно с двумя из них. Следовательно, любой подграф К_1,3должен переходить в К_1,3.

Обозначим через S (v) множество ребер, инцидентных v. Покажем, что для каждой вершины v графа G существует точно одна такая вершина v' графа G', что S (v) при отображении , переходит в S (v'). Если deg v> 2, обозначим через у1 и y2 ребра, инцидентные v, и пусть и' — общая вершина ребер (1(y1) и2(y2) Тогда для каждого ребра х, инцидентного v, вершина v' инцидентна (Ф1(x), и для каждого ребра х', инцидентного v', вершина v инцидентна Ф1(х) Если deg v = 1, то пустьx=uv - ребро, инцидентное v. Тогда deg «^ ^2, и, следовательно, множество S (u) переходит в множество S(u') и (1(x) =u'v'. Поскольку для каждого ребра х', инцидентного v', ребраl(x') и х должны иметь общую вершину, то вершинаuпринадлежит ребру Ф1l(x'), а вершинаu' - ребру х', т.е. х' =1(x) и deg v' = l. Итак, S(u)=S(v) только тогда, когдаu=v. Следовательно, отображениемножества V в множество V взаимно однозначно.

Далее, для данной вершины v' из V существует инцидентное ей ребро х'. Обозначим Ф1'(х') через uv. Тогда или (u)=u', или(v) = v', так что- отображение «на».

Наконец, заметим, что 1(x)=(u)(v) для каждого ребра x - uv графа G и

Ф11 (х')= 11(u')11(v') для каждого ребра х' = =u'v' графа G', так что- изоморфизм, индуцирующий изоморфизм Ф1. Теорема доказана.