Начнем с построения графа состояний. Граф приведено на рис. 6.3.

Очевидно, что вектор-строка вероятностей начальных состояний имеет вид .

Находим вероятности состояний после первого шага:

; ;

; .

Вероятности состояний после второго шага:

;

;

;

Наконец, искомые вероятности после третьего шага равняются:

;

;

;

Проверим результат на выполнение условия нормирования :

.

У словие нормирования выполняется, задача решена.

Рассмотрим пример использования математического аппарата цепей Маркова для построения моделей речевых сигналов.

Второй пример.

Большинство звуков языка можно отнести или к вокализованым (гласным), или к невокализованым (согласным). Тогда языковой сигнал в системе связи можно представить как такой, что имеет три состояния: – пауза; – вокализованый и – невокализованый звуки. Необходимо построить модель языкового процесса с этими тремя состояниями на базе однородной марковской цепи. Это значит, что надо найти финальные вероятности и .

Решение:

Начнем с построения ориентированного графа. Он изображен на рис. 6.4. Все возможны переходы из одного состояния в другой отмечены соответствующими дугами с указанием вероятности перехода. Если по некоторым причинам любые переходы в системе невозможны, это не изменит граф. Просто соответствующие вероятности перехода будут равняться нулю.

В случае, который рассматривается .

Запишем матрицу перехода однородной цепи Маркова для нашего случая.

.

Ч тобы найти финальные вероятности, воспользуемся алгоритмом 2). Для этого составим систему трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными. Первые два уравнения получим из (6.14) и третье – из условия нормировки.

Получим:

Осталось ррешить систему. Воспользуемся ЭВМ и системой MATHEMATICA. Ниже приведен оператор, с помощью которого решена эта система уравнений, и формулы для вычисления финальных вероятностей и . Эти формулы полностью описывают модель исследуемого процесса с тремя состояниями.

Канал связи – модель «черного ящика» [3, 4]

Динамическая система в технике обычно характеризуется своим функциональным назначением – усилитель, контроллер двигателя, радиопередающие и радиоприемные устройства, модемы, кодеки и т. д. Для физических систем, наблюдаемых в природе (например, солнечной), достаточно ответить на вопрос «Как она действует?» В случае же технической системы необходимо также выяснить: «Для чего она предназначена?» Аналогичный интерес к целевому назначению возникает при изучении биологических систем и общественных формаций, которые, как обычно считается, развивались в условиях ограничений, породивших видимость целенаправленности.

Таким образом, при изучении технических систем приходится постоянно обращаться как к их функциональным описаниям (передаточная функция, «черный ящик»), так и к структурным (принципиальная или блочная схема, характеристика состояния). Переход от структурного к функциональному описанию требует анализа заданной структуры для определения ее передаточной характеристики. Обратный переход может потребоваться при синтезе структуры с заданной функциональной характеристикой.

Математически функциональное описание системы имеет вид оператора

,

где: х(t) входной сигнал; у(t) выходной сигнал (отклик системы на входное воздействие х(t)); переменные состояния системы.

Системы, естественно, могут иметь более одного входа или выхода. В этом случае необходимо внести соответствующие формальные изменения в функциональное описание системы. Заметим, что система, характеризующаяся, например, функцией вида является более ограниченной, чем система, характеризующаяся оператором типа . В первом случае текущее значение выходного сигнала зависит лишь от текущего значения сигнала на входе, во втором случае величина выходного сигнала зависит от значений сигнала на входе в различные моменты времени, например в течение всего интервала от t = 0 до настоящего момента. Более того, наличие в выражении компонента у(0) свидетельствует о том, что в выходном сигнале учитываются даже более отдаленные воздействия [4].

В качестве примера рассмотрим простой но важный случай, а именно: система является линейной с постоянными параметрами, а входное воздействие – детерминированный сигнал [3].

Для решения этой задачи чаще других применяют один из следующих трех методов:

● классический метод, основанный на решении дифференциального уравнения, модулирующего процессы, которые происходят в системе при действии на нее заданного сигнала;

● метод интеграла свертки, который позволяет находить отклик системы непосредственно во временной области;

● спектральный метод, который позволяет найти отклик системы в частотной области.

При решении инженерных и научных задач радиотехники и связи в основном используется третий из перечисленных методов.

В качестве системы может выступать как собственно линейная система с постоянными параметрами, так и канал связи.

Чтобы вспомнить, коротко напомним особенности анализа линейной системы с постоянными параметрами во временной области. Потом более детально рассмотрим анализ в частотной области и сформулируем алгоритмы анализа и синтеза таких систем.

Спектральный метод анализа и синтеза линейных систем с постоянными параметрами

Сначала нужно кое-что вспомнить из дисциплин, касающихся теории сигналов и цепей.

● Частотная передаточная функция линейной системы связана с ее импульсной характеристикой парой преобразований Фурье.

● По известной импульсной характеристике (ИХ) с помощью прямого преобразования Фурье можно найти частотную передаточную функцию системы

. (6.15)

● По известной частотной передаточной функции линейной системы с помощью обратного преобразования Фурье можно найти ее ИХ

. (6.16)

Наконец, пусть и . Тогда, учитывая формулы (6.15), (6.16) и теорему свертки, получаем, что

. (6.17)

Анализ прохождения сигналов через линейные системы с постоянными параметрами спектральным методом базируется на том положении, что отклик такой системы на воздействие в виде синусоидального колебания с частотой в стационарном режиме (то есть, после окончания переходных процессов в системе) является синусоидальным колебанием с той же частотой , но с амплитудой, измененной в раз и начальной фазой, сдвинутой на угол радиан относительно начальной фазы синусоидального колебания, которое действует на входе.

Например, на входе линейной системы действует периодическое колебание, представленное рядом Фурье вида