Основные этапы математического моделирования

Первым этапом математического моделирования является постановка задачи, определения объекта и целей исследования, выбор критериев (признаков) изучения объектов и управления ими. Неправильная или неполная постановка задачи может свести на нет результаты всех дальнейших этапов.

Вторым этапом моделирования является выбор типа математической модели, который является важнейшим моментом, определяющим направление всего исследования. Обычно последовательно строится несколько моделей. Сравнение результатов их исследования с реальностью позволяет установить наилучшую из них. На этапе выбора типа математической модели с помощью анализа данных поискового эксперимента устанавливаются класс модели (см. раздел 1): линейная или нелинейная, динамическая или статическая, стационарная или нестационарная, а также степень детерминированности исследуемого объекта или процесса.

Процесс выбора математической модели объекта заканчивается ее контролем, который также является первым шагом на пути к исследованию модели. При этом осуществляются виды контроля, кратко сформулированные ниже.

Контроль размерности сводится к проверке выполнения правила, согласно которому приравниваться и суммироваться могут лишь величины одинаковой размерности.

Контроль порядков величин направлен на упрощение модели. При этом определяются порядки величин, которые складываются, и явно малозначимые слагаемые отбрасываются.

Анализ характера зависимостей сводится к проверке направления и скорости изменения одних величин при изменении других. Направления и скорость, вытекая из ММ, должны отвечать физическому смыслу задачи.

Анализ экстремальных ситуаций сводится к проверке смысла решения при приближении параметров модели к нулю или бесконечности.

Контроль предельных условий заключается в том, что проверяется соответствие ММ предельным условиям, вытекающим из смысла задачи. При этом проверяется, на самом ли деле предельные условия поставлены и учтены при построении искомой функции и эта ли функция в действительности удовлетворяет таким условиям.

Анализ математической замкнутости сводится к проверке того, что ММ дает однозначное решение.

Анализ физического смысла сводится к проверке физического содержания промежуточных соотношений, использованных при построении ММ.

Проверка устойчивости модели заключается в проверке того, что варьирование входных данных в рамках имеющихся данных о реальном объекте не приведет к существенному изменению решения.

Понятие о вычислительном эксперименте

В настоящее время основным способом исследования ММ и проверки ее качественных показателей служит вычислительный эксперимент.

Вычислительным экспериментом называется методология и технология исследований, основанных на использовании методов прикладной математики и ЭВМ как технической базы при ММ. Вычислительный эксперимент основывается на создании ММ изучаемых объектов, которые формируются с помощью некоторой особой математической структуры, способной отображать свойства объекта, которые проявляются в разных экспериментальных условиях, и включает следующие этапы.

 Для исследуемого объекта строится модель, обычно сначала физическая, фиксирующая разделение всех факторов, которые действуют в данном явлении, на главные и второстепенные, которые на данном этапе исследования отбрасываются; одновременно формулируются допущения и условия применения модели, границы, в которых полученные результаты будут справедливые; модель записывается в математической форме, как правило, в виде дифференциальных или интегро- дифференциальных уравнений; построение ММ выполняется специалистами в данной области природоведения или техники, а также математиками, представляющими себе возможности решения математической задачи.

 Разрабатывается метод решения сформулированной математической задачи. Это задача представляется в виде совокупности формул, по которым должны вестись вычисления, и последовательность использования этих формул. Набор этих формул и условий имеет название вычислительный алгоритм. Вычислительный эксперимент имеет многовариантный характер, поскольку решение поставленных задач часто зависит от многочисленных входных параметров. Однако, каждый конкретный расчет в вычислительном эксперименте проводится при фиксированных значениях всех параметров. Часто ставится задача выявить оптимальный набор параметров. В этом случае приходится проводить большое число расчетов однотипных вариантов задания, которые отличаются значением некоторых параметров. Поэтому при организации вычислительного эксперимента нужно использовать эффективные численные методы.

 Разрабатываются алгоритм и программа решения задачи на ЭВМ. Программирование решений определяется теперь не только искусством и опытом исполнителя, а перерастает в самостоятельную науку со своими принципиальными подходами.

 Проведение расчетов на ЭВМ. Результат представляет собой некоторую цифровую информации, которую в дальнейшем необходимо будет расшифровать. Точность информации, полученной при вычислительном эксперименте, зависит от достоверности модели, положенной в основу эксперимента, правильностью алгоритмов и программ (проводятся предварительные «тестовые» испытания).

 Обработка результатов расчетов, их анализ и выводы. На этом этапе могут возникнуть: необходимость уточнения ММ (осложнение или, наоборот, упрощение), предложения по созданию упрощенных инженерных способов решения и формул, которые дают возможности получить необходимую информацию более простым способом.

Вычислительный эксперимент приобретает исключительное значение в тех случаях, когда натурные эксперименты и построение физической модели оказываются невозможными. Особенно ярко можно проиллюстрировать значение вычислительного эксперимента при исследовании влияния городской застройки на параметры распространения радиосигнала. В связи с интенсивным развитием систем мобильной связи такое задание в настоящее время является особенно актуальным. С целью снижения расходов при частотно-территориальном планировании производится оптимизация частотно-территориального плана с учетом таких факторов, как рельеф местности, конфигурация городской застройки, атмосферные воздействия. Кроме этого, с учетом быстрого развития городов необходимо постоянное уточнение соответствующих моделей. Уроввень сигнала (средняя напряженность электромагнитного поля), является результатом сложного взаимодействия физических процессов, которые протекают при распространении сигнала: прохождение сигнала сквозь здания и сооружения; действие на сигнал помех искусственного и естественного происхождения; атмосферная рефракция сигнала; отражение сигнала от зданий и от земной поверхности; потери энергии сигнала в осадках и др. В данном случае окружающую среду можно исследовать, строя соответствующую ММ, которая должна позволять предусматривать уровень сигнала при заданной конфигурации застройки, рельефе местности, погодных условиях и тому подобное. Масштабы среды распространения сигнала настолько грандиозны, что эксперимент даже в одном каком-то регионе требует существенных расходов.

Таким образом, глобальный эксперимент по исследованию распространения сигнала возможен, но не натурный, а вычислительный, что проводит исследованию не реальной системы (окружающая среда), а ее ММ. В науке и технике известно немало областей, в которых вычислительный эксперимент оказывается единственно возможным при исследовании сложных систем.

Пригодность ММ для решения задач исследования характеризуется тем, в какой мере модель имеет так называемые целевые свойства, основными из которых являются адекватность, устойчивость и чувствительность.

Оценка адекватности

В общем случае под адекватностью модели понимают меру соответствия модели тому реальному явлению или объекту, для описания которого она строится. В то же время, создаваемая модель ориентированная, как правило, на исследование определенного подмножества свойств этого объекта. Поэтому можно считать, что адекватность модели определяется мерой ее соответствия не столько реальному объекту, сколько целям исследования. В наибольшей степени это утверждение справедливо относительно моделей проектируемых систем (то есть в ситуациях, когда реальной системы вообще не существует).

Однако, во многих случаях полезно иметь формальное подтверждение (или обоснование) адекватности разработанной модели. Один из наиболее распространенных способов такого обоснования – использование методов математической статистики. Суть этих методов заключается в проверке выдвинутой гипотезы (в данном случае об адекватности модели) на основе некоторых статистических критериев. При этом следует заметить, что при проверке гипотез методами математической статистики необходимо иметь в виду, что статистические критерии не могут подтвердить ни одной гипотезы. Оони могут лишь указать на отсутствие опровержения.

Процедура оценки основана на сравнении результатов измерений на реальной системе и результатов экспериментов на модели и может проводиться разными способами. Наиболее распространены из них:

• по средним значениям откликов модели и системы;

• по дисперсиям отклонений откликов модели от среднего значения откликов;

• по максимальному значению относительных отклонений откликов модели от откликов системы.

Эти способы оценки достаточно близки между собой по существу, потому ограничимся рассмотрением первого из них. При этом способе проверяется гипотеза о близости среднего значения наблюдаемой переменной среднему значению отзыва реальной системы .

В результате опытов на реальной системе получают выборку значений . Выполнив экспериментов на модели, получают выборку значений переменной .

Потом вычисляются оценки математического ожидания и дисперсии откликов модели и системы, после чего выдвигается гипотеза о близости средних значений величин и в статистическом смысле. Основой для проверки гипотезы является t-статистика (распределение Стьюдента). Ее значение , вычисленное по результатам испытаний, сравнивается с критическим значением , взятым из справочной таблицы. Если выполняется неравенство , то гипотеза принимается. Необходимо еще раз подчеркнуть, что статистические методы применяют лишь в том случае, если оценивается адекватность модели существующей системы.

На проектируемой системе провести измерения, естественно, не представляется возможным. Единственный способ преодолеть эту трудность заключается в том, чтобы принять как эталонный объект концептуальную модель проектируемой системы. Тогда оценка адекватности программно реализованной модели заключается в проверке того, насколько корректно она отображает концептуальную модель.