6. Подільність цілих чисел, ділення з остачею.

Нехай a i b - цілі числа, b≠0, говорять, що а ділиться націло на b

Ділення націло виконується не завжди на Z, проте, якщо виконується, то визначається однозначно

Д-ня. Припустимо, що існує два представлення: а=bq₁ та а=bq₂, q₁, q ₂, єZ віднімемо рівняння, одержимо b(q₁-q₂) =0 Так як b≠0, то q₁-q₂=0 → q₁=q₂ і представлення єдине.

Властивості:

1.

Справді а=а*1, q=1

2. ,, та

Дійсно, у першому випадку q±а, в другому- q= -1

3.

Дійсно, при q=0, маємо вірну рівність 0=b*0

4.

5.

Д-ня. За умовою а=bq1, q1єZ, b=сq2, q2єZ, тоді а=сq´, де q´=q1q2єZ, звідки а:с

6.

Д-ня. За умовою існують q₁, q₂єZ такі, що а₁=bq₁ , а₂=bq₂, додамо ці рівності а₁+а₂=b(q₁+q₂) → а₁+а₂=bq´ (q´=q₁+q₂), а отже а₁+а₂ ділиться націло на b

7.

8.

Д-ня. За умовою а=bq, qєZ тоді → аⁿ : b

9. ,,,…

Д-ня випливає з властивостей 6 і 7.

10.

Оскільки в кільці цілих чисел ділення націло виконується не завжди, виникає бажання так узагальнити поняття ділення, щоб воно виконувалося для всіх цілих чисел.

Нехай аєZ, bєN говорять, що а ділиться з остачею на b, якщо існує представлення а=bq+r, причому qєZ, rєZ, 0≤r<b

Теорема (про ділення з остачею):

Для довільного цілого а та натурального b ділення з остачею існує і однозначне.

Д-ня. Розглянемо 3 можливі випадки в залежності від а.

І ) а=0 тоді візьмемо bєN, q=r=0, 0=b*0+0

ІІ) а>0 Якщо 0<а<b, то а=b*0+а, q=0, а=r 0≤r<b.

При а≥b розглянемо ряд чисел b, 2b, 3b, …, kb, … Очевидно, що можна вказати таке число kєN, що kb≤а, (k+1)>а, позначимо це k через q тоді qb≤а≤(q+1)віднімемо від всіх частин рівності qb будемо мати 0≤а-qb<b позначимо а-qb=r, тоді а=qb+r і 0≤r<b

ІІІ) а<0 тоді -а>0 і за попереднім пунктом –а=bq´+r´, 0≤r´<b помножимо останню рівність на -1. а=-bq´-r´, а=b(-q´)+(-r)

Якщо r´=0, то q=-q´, r=-r´=0 і а=bq+0

Якщо r´≠0, то у правій частині рівності (*) додамо та віднімемо b. а=b(-q´)+b-b-r´=

=b(-q´-1)+(b-r´) покладемо q=-q´-1 та r=b-r´ тоді остання рівність матиме вигляд а=bq+r.

Оскільки 0≤r´<b /*-1

0≥-r´>-b /+b

b≥b-r´>0 b≥r>0. Оскільки r´≠0, то 0<r<b або 0≤r<b

Єдиність Припустимо, що існує два представлення а=bq1+r1 0≤r1<b

а=bq2+r2 0≤r2<b Віднявши рівності маємо

0=b(q1-q2)+(r1-r2), b(q1-q2)=r2-r1

Оскільки ліва частина рівності ділиться на b, то і права ділиться на b. Враховуючи, що r1<b та r2<b тому (r2-r1)<b, отже r2-r1=0, звідки r1=r2, тоді b(q1-q2)=0, а оскільки b≠0 то q1-q2=0, q1=q2 і представлення єдине.