14. Многочлени над полем дійсних чисел.

Лема 1. Будь-який многочлен непарного степеня з дійсними коефіцієнтами має принаймні 1 дійсний корінь.

Д-ня. Нехай deg f(x)=n=2k+1 – непарне число, і f(x)=a_nxⁿ+…+a₁x+a₀, an>0. Як відомо многочени є неперервними функціями і їх поведінка на нескінченостях визначається поведінкою старшого члена тобто

f(x) =a_nxⁿ=+∞, крім того

f(x)=a_nxⁿ= -∞

Отже існують такі числа a,b єR, що f(a)<0, a f(b)>0. За теоремою Больцано-Коші існує число c, cє[a, b], таке що f(c)=0, c єR . Отже c – корінь f(x) ▲

Лема 2. Будь-який многочлен f(x) ненульового степеня з дійсними коефіцієнтами має принаймні 1 комплексний корінь.

Д-ня. Нехай deg f(x)=n, тоді n=2^k*q, де k≥0, (q, 2)=1.

Доведемо твердження леми індукцією по к.

1. Нехай к=0, тоді n=q – непарне число, і за лемою1 f(x) має дійсний (комплексний ) корінь.

2. Припустимо, що твердження вірне для всіх натуральних чисел менших за к, тобто для многочленів степінь яких ділиться на 2^к-1 і не ділиться на 2^к .

3. Доведемо, що твердження вірне для многочленів степінь яких ділиться на 2^к.

Нехай f(x) такий многочлен тобто

deg f(x) =2^kq=n. У полі розкладу Δ f(x) має корені α₁, α₂,…, α_n. Сконструюємо елемент β_ij виду: α_iα_j+C(α_i+α_j) де C - довільне число єR, i<j. таких елементів буде

=2^k-1q(2^kq-1)=

=2^k-1q₁, де q₁=q(2^kq-1)-непарне число.

Розглянемо многочлен

φ(х)=, степеня2^k-1q₁ коренями якого є β_ij і тільки вони. Зауважимо, що при перестановках α_k ↔ α_m і навпаки многочлени β_ij не змінюються і тому φ(х) є симетричним відносно α₁, α₂,…, α_n.

Враховуючи, що α₁, α₂,…, α_n корені многочлена з дійсними коефіцієнтами та застосовуючи теорему, яка є наслідком з формули Вієта одержимо, φ(х) також матиме дійсні коефіцієнти. За припущенням індукції ( оскільки deg f(x) =2^k-1q₁ ) многочлен φ(х) з дійсними коефіцієнтами матиме принаймні 1 комплексний корінь β_ijєС Таким чином, для будь-якого дійсного числа С можна вказати пару індексів i та j, (1≤i<j≤n) при яких β_ij=α_iα_j+C(α_i+α_j) є комплексним числом. Зрозуміло також, що різним дійсним числам С₁ і С₂ відповідають різні пари індексів. Проте, оскільки множина дійсних чисел нескінченна, а множина пар (i, j) (таких що1≤i<j≤n ) скінченна, то можна вибрати пару чисел С₁ і С₂ (С₁ ≠ С₂), яким відповідатиме одна і та ж пара індексів, тобто

β_ij =α_iα_j+C₁(α_i+α_j)

_ij = α_iα_j+C2(α_i+α_j)

β_{ij ij} – комплексні числа.

Очевидно, що α_i та α_j є коренями квадратного рівняння з комплексними коефіцієнтами

Z² - (α_i + α_j ) Z + α_iα_j=0

Отже α_і та αj є комплексними коренями многочлена f(х) ▲.

Наслідки.

1. Якщо многочлен f(х) з дійсними коефіцієнтами має комплексний корінь α=a+bi, то його коренем буде і число спряжене до α, = a - bi.

Д-ня. Нехай многочлен

f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀ є R має комплексний корінь α. Тобто f(α)=a_nαⁿ+a_n-1α^n-1+…+a₁α+a₀=0.

Візьмемо комплексне спряжене від многочленів останньої рівності

=0 →

=0

а_і – дійсні числа, вони співпадають з своїми спряженими:

f()=0, тобто - корінь f(х) ▲

2. Якщо многочлен f(х) з дійсними коефіцієнтами має комплексний корінь α кратності к, то він має коріньтієї ж кратності.

3. Над полем дійсних чисел незвідними можуть бути многочлени першого або другого степеня і тільки вони.

Д-ня. Нехай f(х) є незвідним многочленом над дійсним полем. Припустимо, що deg f(х)>2. За лемою 2 наслідком 1 він матиме комплексний корінь α і , тодіf(x)=(x-α)(x-)*g(x) причому

deg g(x) ≥1

f(x)=(x² – αx -x + α)*g(x), або

f(x)=(x² - (α +)x+ α)*g(x), де

(α +) є R, αє R таким чином многочлен в дужках має дійсні коефіцієнти і враховуючи що deg g(x)≥1 робимо висновок, що f(x) буде незвідним над R ▲