2Кільця,підкільця.Прикла-ди.Найпростіші властивості кілець.

Кільцем назив.множина К,на якій задані операції «+» і «٠»,які необмежено виконані,однозначні,замкнені на К і виконуються аксіоми:1)(К;+)-адетивна абелева група;2)множення дистрибутивне зліва і справа відносно додавання. Для будь-яких а,b,с є R:а(b+с)=аb+ас або (а+b)с=ас+bс. Відповідно до властивостей множення виділяють основні типи кілець: 1)асоціативні; 2)комутативні 3)унітарні(існує одиничний е-т множення); 4)цілісні(не має дільників нуля. Існує а,b є К:а≠Ө,b≠Ө і аb≠Ө);5)з лівим і правим діленням. Для будь-якого а є К,і будь-якого b≠Ө,існує с є К:а=bс (а=сb).Нульове, асоціативне, комутативне, унітарне, цілісне кільце наз. область цілісності. Приклади: 1.нульове кільце 0={Ө}

Ө+Ө=Ө; -Ө=Ө; Ө٠Ө=Ө асоціативне, комутативне

2.N-не кільце,бо (N;+)-не група. 3.Z,Q,R,С-область цілісності.

4. Z[і]{а+bі,для будь-яких а,b є Z}цілі комплексні числа-область цілісності.5.Р[х]-поліноми-область цілісності.6.Р(х)-алгеб.дроби-область цілісності.7.С[а,b]-неперервні ф-ції на відр.[а,b]-асоціативне, комутативне, унітарне,нецілісне.Найпростіші властивості кілець.I.Всі власт.адитивних абелевих груп.

1)однозначність Ө(нульовий елемент);2)Для будь-якого а є К,

(-а) тальки один;3)для будь-яких а,

b є К існує і єдина а-b=а+(-b);

4)-(-а)=а;5)Можна робити скорочення при додаванні на будь-який елемент;6)а+х=а х=Ө;7)а+х=Ө х=-а;8) а=b а-b=Ө;9)можна розглядати цілі кратні довільного елемента.

II.Спеціальні властивості: 1.Для будь-якого а є К:

аӨ=Өа=Ө._▲Для будь-якого b є К аb+аӨ=а(b+Ө)=аb аӨ=Ө,аналогічно Өа=Ө_▲2.(-а)b=

=-(аb); а(-b)= -(аb);(-а)(-b)=аb._▲ аb+ +(-а)b=(а+(-а))b=Өb=(за 1)властивістю)=Ө.Аналогічно (-а)b+аb=Ө (-а)b= =-(аb)_▲ 3.Дистрибутивність для різниці.Для будь-яких а,b,с є К:(а-b)с=ас-bс і а(b-с)=аb-ас._▲(а-b)с=(а+ (- b))с=ас+(- b)с=(за 2))=ас-bс_▲

Підкільцем кільця К назив.таке кільце L,що виконуються умови:

1) L включається в К;2)додавання на Lє додавання на К звужене на множину L;

3)множення на L є множення на К звужене на множину L;4)Ө_L=Ө_К,в цьому випадку К називається над кільце або кільцеве розширення кільця.Прикл.Z<Q. Перший критерій підкільця. L₁.для будь-яких а,b є L: (а+b) є L;

L₂.для будь-якого а є L:

-а є L; L₃. для будь-яких а,b є L: аb є L. Другий критерій підкільця. Непорожня підмножина Н кільця К є його підкільцем тоді і тільки тоді,коли виконується умова:а) для будь-яких х,у є Н [(х-у) є Н]; б) для будь-яких х,у є Н[ху є Н].

_▲Необхідність очевидна, доведемо достатність. Оскільки для будь-яких х,у є Н, (х-у) є Н,то з цього випливає:1) 0=х-х є Н; 2) -у=0-у є Н; 3) х+у=х-(-у) є Н.Таким чином «+» та «٠» замкнене на Н,Н містить 0 та протилежні до своїх елементів.Асоціативність,комутативність «+» та дистрибутивний закон виконується в Н,бо вони виконуються для всих елементів кільця К, Н-підкільце К._▲ Будь-яке кільце завжди містить принаймні 2 підкільця: {0} і {К}їх назив. тривіальними.Т-ма. Перетин будь-якої множини підкілець кільця К є його підкільцем. _▲Нехай К_і-підкільця кільця К,і єІ. Позначимо через А=∩ К_і.Перевіримо умови критерія: А≠ порожній множині, бо 0 є К_і(і є І).

1)Нехай х, у є А,тоді х,у є К_і (і є І). Оскільки К_і –підкільце,то (х-у) є К_і і ху є К_і (і є І).Отже,(х-у) є А і ху є А, т.б. А-підкільце._▲

Якщо К або асоціативне, або комутативне, або цілісне,то кожне його власне підкільце має аналогічну властивість. (унітарність може не зберігатись)Приклад.К=Z; L=2Z. Характеристикою кільця К з одиницею е назив. найменше натуральне число m=min{k/k є N}, таке що

m٠е=0.Якщо такого числа не існує, то характеристика кільця К дор.0, бо 0٠е=0.Позначення: char K.Т-ма.Характеристикою будь-якого поля Р є або число 0,або просте число. _▲Нехай характеристика поля Р дор. m.Припустимо, що m≠0 і m-складне число: m=р٠m₁,де р-просте число, m₁≥1.Покажемо, що m₁=1.Припустимо супротивне,тоді для одиниці е поля р виконується m٠е=0, р٠m₁٠е=(р٠е)( m₁٠е). Оскільки в полі немає дільників 0, то m₁٠е=0, або р٠е=0.Остання рівність суперечить мінімальності вибору числа m, бо m₁<m,т.б. припущення не вірне m₁=1 і m=р.Таким чином характеристика поля є або 0 або просте число._▲

Ідеалом І кільця К назив. таке його підкільце,яке є замкнутим відносно множення на е-ти кільцяК