12. Звідність многочленів над полем. Основна теорема подільності многочленів.

Як відомо, елементи кожного кільця розподілені наступним чином К={0}ЕПр.Скл.

0 - нульовий елемент

Е – множина оборотних елементів

Пр – множина простих елементів

Скл. – множина складених елементів

Зокрема оборотними елементами кільця Р[х] виступають відмінні від нуля константи поля Р, прості елементи цього кільця прийнято називати незвідними, а складені – звідними.

Многочлен де f(x) є Р[х] додатного степеня називається звідним над полем Р, якщо його можна розкласти в добуток двох многочленів степені яких менші ніж степнь f(x)

f(x) звідний ↔ f(x) = g(x) q(x)

Якщо такого розкладу не існує, то многочлени називаються незвідними над полем Р.

Властивості.

1. Многочлени 1-го степеня є незвідними над будь-яким полем Р.

2. Якщо р(х) – незвідний над полем Р і q(x) та p(x) асоційовані то q(x) – незвідний.

3. Якщо р(х) – незвідний над Р і р(х)÷d(x) → або р(х) та d(x) асоційовані, або d(x)≡const є Р/{0}

Д-ня. Якщо р(х) та d(x) асоційовані, твердження доведено. Нехай р(х) та d(x) не асоційовані, тоді означенням незвідності многочлена d(x)=С, С= const. ▲

4. Якщо р(х) – незвідний і f(x) не ділиться націло на p(x), то (f(x),p(x))=1

5. Якщо р(х) і q(x) незвідні, то р(х) і q(x) або асоційовані, або взаємно прості.

6. Якщо f(x) g(x) ділиться націло на p(x), де p(x) – незвідний над Р, то або f(x)÷ p(x) або g(x)÷p(x)

Д-ня Нехай f(x)÷p(x), тоді твердження доведене. Припустимо, що f(x) не ділиться на p(x) тоді (f(x),p(x))=1. Подальше твердження випливає з властивостей взаємно простих многочленів.

7. Над будь-яким числовим полем Р кількість нормованих незвідних многочленів нескінченна.

Д-ня. Многочлен називають нормованим, якщо його старший коефіцієнт дорівнює 1.

Припустимо супротивне, нехай нормованих незвідних многочленів скінченна кількість р₁(х), р₂(х), …р_s(x) Розглянемо многочлен

g(x)=р₁(х)+р₂(х)+…+р_s(x)+1, degg(x)>0 і g(x) та р_і(х) не асоційовані, тому многочлен g(x) звідний. За означенням він має дільник степеня менше ніж deg g(x) Зрозуміло, що серед них будуть незвідні. Проте g(x) не ділиться націло на p_i(x) - протиріччя. Отже незвідні многочлени мають властивості аналогічні властивостям простих чисел. ▲

Т-ма. (Основна теорема подільності в кільці многочленів)

Будь-який многочлен f(x) додатного степеня з кільця Р(х) можна розкласти у добуток незвідних множників над полем Р до того ж єдиним способом з точністю до асоційованості та порядку слідування співмножників.

Д-ня Існування. Нехай f(x) – многочлен додатного степеня з кільця Р[х] можливі два випадки: 1) якщо f(x) незвідний, то f(x)= f(x) і є шуканий розклад.

2) Нехай f(x) – звідний над полем Р, тоді його можна представити у вигляді f(x)= g(x)h(x) *

тоді 0< deg g, h< deg f(x). Якщо g(x) і h(x) – незвідні, тоді *- шуканий розклад. У противному випадку процес продовжуємо далі. Так як степені многочленів у добутку строго спадають та обмежені знизу нулем, через декілька кроків одержимо

f(x)= р₁(х)*р₂(х)*…*р_m(x), де р_і(х) незвідні над Р.

Единість. Нехай існує два представлення

f(x)= р₁(х)*р₂(х)*…*р_m(x) і

f(x)=q₁(x)*q₂(x)*…*q_k(x) де будь-які p_i та q_j незвідні над Р.

Припустимо, що m <k та прирівняємо праві частини вказаних рівностей

р₁(х)*р₂(х)*…*р_m(x)= q₁(x)*q₂(x)*…*q_k(x) **

Оскільки р₁(х) – незвідний і q₁(x)*q₂(x)*…*q_k(x) ділиться націло на р₁(х) , то за властивістю незвідних многочленів хоча б один з g_і(x)ділиться націло на р₁(х). Без порушення загальності можна вважати, що g₁(x)÷р₁(х), тоді g₁(x) та р₁(х)- асоційовані. Скоротимо ** на р₁(х) одержимо

р₂(х)*…*р_m(x)= С₁q₂(x)*…*q_k(x), С₁єР

Міркуючи аналогічно, у правій частині останньої рівності знайдеться многочлен g_j(x) який ділиться на р₂(х), нехай це буде q₂(x), тоді р₂(х) і q₂(x) –асоційовані і скоротивши на р₂(х), одержимо: р₃(х)*…*р_m(x)= С₁С₂q₃(x)*…*q_k(x). На m-му кроці будемо мати: 1= Сq_m+1(x)*…*q_k(x), СєР. Оскільки q_і(x) – незвідні то degq_i(x)>0 і тому остання рівність неможлива, тобто припущення невірне. Аналогічно показуємо, що випадок m >k неможливий, тобто m=k і f(x)= р₁(х)*р₂(х)*…*р_m(x) і

f(x)=q₁(x)*q₂(x)*…*q_m(x). Повторюючи попередні міркування при відповідній пере нумерації легко довести, що (р₁(х), q₁(x)), (р₂(х), q₂(x)), … (р_m(x), q_m(x)) асоційовані. Таким чином представлення многочлена у вигляді добутку незвідних однозначне. ▲

Замінимо кожен многочлен р_і(х) в одержаному представленні нормованим многочленом, зберемо однакові многочлени у степені та винесемо константи, одержимо розк5лад виду:

f(x)=Cp₁^α1(x)p₂^α2(x)…p_k^αk(x) – цей розклад назив. канонічним представленням многочлена. С=a_n старший коефіцієнт f(x). Якщо α_і=1, то множники p_і(x) називаються простими, якщо α_і>1, то множники p_і(x) називаються кратними, а α_і – його кратністю.