Смешанное произведение
Смешанное произведение есть тернарная, т.е. трехместная, операция, в отличие, например, от двухместной операции скалярного произведения. Смешанное произведение (и это оправдывает название) определяется через векторное и скалярное произведения.
Смешанным произведением трех векторов называется число
.
Смешанное произведение имеет четкий геометрический смысл. Ориентированным объемом параллелепипеда, построенного на упорядоченной тройке векторов , приведенных к общему началу, называется число, обозначаемое и равное объему этого параллелепипеда, взятому со знаком "плюс", если эта тройка правая, и со знаком "минус" – в противном случае.
Лемма. .
Доказательство. Объем параллелепипеда (рис.6) равен произведению площади его основания на высоту.
Поэтому
.
Теперь вместо . Можно писать.
Рис. 6. Смешанное произведение
Следствие 1. .
Следствие 2. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда.
Предложение. Если вектора некомпланарные, то и вектора некомпланарные.
Доказательство. Предположим
и, например, . Умножив обе части равенства скалярно на, мы получим, что противоречит некомпланарности векторов базиса.
- 1.2. Лекция 2. Скалярное, векторное и смешанное
- Скалярное произведение
- Геометрические свойства скалярного произведения
- Алгебраические свойства скалярного произведения
- Векторное произведение
- Смешанное произведение
- Двойное векторное произведение
- Решение векторных уравнений
- Законы физики и векторный язык