Кольца вычетов. Решение сравнений.

1. Z/mкоммутативное кольцо с единицей называется кольцом вычетов.

2. Z_m={0, 1, … , m-1}

a+b=r_m(a+b)

a*b=r_m(a*b)

Z_m~Z/m (Z_mкольцо вычета по модулю m)

Решение сравнений:3x¹⁵+17x⁴+9x+5 1 (mod 4). Это сравнение можно решать методом испытаний абсолютно наименьших вычетов.

(0,1,2,3 – перебирают эти числа в данном случае и подставляют в исходное сравнение)

-x¹⁵+x⁴+x+1 1 (mod 4)

-x¹⁵+x⁴+x 0 (mod 4)

0: |-0+0+0 0

1: |-1¹⁵+1⁴+1 1

2: |-2¹⁵+2⁴+2 0+0+2 2

3: |-3¹⁵+3⁴+3 (-3)¹²*(-27)+1+3=-27+4=-23

3⁴=81 1 -3 1

x 0 (mod 4)

x= 4k+0, k Z

11. Содержание

    • Множества и операции над ними. Отношение эквивалентности. Фактор множества.
    • Изоморфизм алгебраических структур
    • Натуральные числа. Нод. Деление с остатком и алгоритм Евклида.
    • Нок. Решение уравнений в целых числах.
    • Простые числа. Основная теорема арифметики. Каноническое разложение. Сравнения.
    • Кольца вычетов. Решение сравнений.
    • Числовые функции. Функция Эйлера. Теоремы Эйлера и Ферма.
    • Матрицы. Элементарные преобразования строк матрицы. Приведение к ступенчатому виду.
    • Операции над матрицами, их свойства.
    • Определители. Основные свойства. Вычисление определителей элементарными преобразованиями.
    • Евклидовы и унитарные пространства, скалярное произведение. Неравенство Коши-Буняковского.
    • Ортогональные системы векторов. Ортогонализация.
    • Ортогональное дополнение подпространства.
    • Сопряженное пространство. Двойственных базис.
    • Основные примеры групп. Конечные группы. Теорема Кэли.
    • Циклические группы. Подгруппы циклической группы.
    • Смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа.