§7. Формулы Серре-Френе

Для гладкой кривой класса без точек распрямления изменение векторовпри движении точки по кривой описывается формулами Серре-Френе, дающими разложение производных по натуральному параметру векторовпо этим же векторам.

Имеем

. (1)

Так как – векторная функция постоянной длины, то, и, следовательно,параллелен спрямляющей плоскости. Поэтому его можно разложить по векторами:

(2)

Дифференцируя тождество по параметруи учитывая формулы (1), (2), получим. Таким образом,

(3)

Дифференцируя тождество , получим.

Число называетсякручением линии в точке.

Таким образом, формулы Серре-Френе имеют вид:

Используя формулы Серре-Френе, можно доказать теоремы, раскрывающие геометрический смысл обращения внуль кривизны и кручения.

Т е о р е м а 1. Кривизна гладкой линии класса , равна нулю в каждой её точке тогда и только тогда, когда линия является промежутком прямой.

Т е о р е м а 2. Кручение гладкой линии класса , равно нулю в каждой её точке тогда и только тогда, когда линия является плоской.

Используя правила дифференцирования сложной функции и формулы Серре-Френе, получаем для гладкой кривой класса :

;

;

.

Тогда ,;.

Получаем формулы для вычисления кривизны и кручения кривой, заданной в произвольной параметризации:

, .

Для гладкой кривой класса , без точек распрямления имеем функции , которые называютсянатуральными уравнениями кривой, поскольку имеет место следующая

Т е о р е м а. Пусть и– две непрерывные числовые функции, причем. Тогда существует единственная с точностью до движения в пространстве гладкая кривая, для которойислужат кривизной и кручением.