Частные производные высших порядков

Далее можно определить частные производные высших порядков. Так производные от производных первого порядка называются частными производными второго порядка. Они определяются следующим образом

.

Частные производные вида называются смешанными частными производными. Возникает естественный вопрос о равенстве смешанных частных производных, однако это возможно при выполнении некоторых условий.

Теорема 4. Если производные существуют в некоторой δ-окрестности точки M(x; y) и непрерывны в самой точке M, то они равны между собой в этой точке, то есть имеет место равенство

По аналогии определяются дифференциалы высших порядков, так дифференциал второго порядка представляет из себя дифференциал от дифференциала первого порядка. Функции, у которых существуют дифференциалы до n-го порядка включительно, называются n раз дифференцируемые. Используя данные понятия можно сформулировать многомерный аналог теоремы Тейлора.

Теорема 5 (Тейлора). Пусть функция z=f(x; y) непрерывна вместе со всеми частными производными до (n+1)-го порядка включительно в некоторой δ-окрестности точки M(x; y). Пусть точка M₁(x+Δx; у+Δy) принадлежит этой окрестности. Тогда приращение Δf=f(M₁)- f(M) этой функции в точке M можно представить в следующей форме

.

Лекция 28

Экстремумы функции двух переменных.

Пусть функция z=f(x; y) определена в некоторой окрестности точки M₀ (x₀; y₀).

Определение. Говорят, что функция z=f(x; y) имеет в точке M₀ (x₀; y₀) локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки M₀, в которой для любой точки M (x; y) выполняется неравенство

.

Точки локального максимума и локального минимума называются точками экстремума. Из определения следует, что если функция z=f(x; y) имеет экстремум в точке M₀, то полное приращение Δz= f (M)- f (M₀) этой функции в точке M₀ удовлетворяет в некоторой окрестности этой точки одному из следующих неравенств

в случае локального максимума

в случае локального минимума.

И обратно, если в некоторой окрестности точки M₀ выполняется одно из этих неравенств, то функция имеет экстремум в точке M_0.

Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Если функция f(x; y) имеет в точке M₀ (x₀; y₀) локальный экстремум и имеет в точке M₀ частные производные первого порядка, то в этой точке частные производные первого порядка равны нулю, то есть

Как и в случае функции одной переменной условие равенства нулю не достаточно для наличия экстремума в данной точке.

Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть в точке M₀ (x₀; y₀) возможного экстремума и некоторой ее окрестности функция f(x; y) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Положим

Тогда:

а) если Δ>0, то в точке M₀ функция имеет экстремум, причем при - локальный максимум, при - локальный минимум.

Б) если Δ<0, то в точке M₀ экстремума нет.