4.3. Определители (детерминанты) квадратных матриц

Главной характеристикой квадратной матрицы является определитель (детерминант) - численная характеристика матрицы, которая может быть определена двумя способами - 1) либо рекурсивно по порядку матрицы n либо 2) при помощи перестановок. Обозначается определитель матрицы А как (А) либо det(A).

Рекурсивное определение определителя матрицы А по ее порядку n.

n=1. Для матрицы первого порядка детерминантом является сам единственный элемент этой матрицы:

(4.8а)

n2. Для матриц второго порядка и выше детерминант задаётся рекурсивно формулой, которая называется разложением определителя по первой строке:

,    (4.8б)

где  — дополнительный минор к элементу a_1j. - определитель матрицы порядка (n-1), которая получается из А вычеркиванием в ней первой строки и столбца с номером j .

Определение определителя при помощи перестановок. Для квадратной матрицы А порядка n справедлива формула:

, (4.9)

где α₁,α₂,...,α_n — перестановка чисел от 1 до n, N(α₁,α₂,...,α_n) — число инверсий (нарушений порядка) в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n. Поскольку общее их число равно n!, то в сумму (4.9) войдут n! слагаемых, которые называют членами определителя.

Используя рекурсивное определение, найдем расчетные формулы для определителей матриц порядков n=2 и n=3.

(4.10)

(4.11)

Примеры 1. Расчет определителей: