1. Теоретическая часть

Графом,в общем случае, называются два множества, находящиеся между собой в некотором отношении: G=(V,Е), где V - множество вершин, Е - множество связей между ними . Вершины графа изображаются точками, а связи между ними - линиями произвольной конфигурации.

Связь неупорядоченной пары вершин называется ребром, упорядоченной- дугой. Граф, у которого все вершины соединены дугами называется ориентированным. Граф, у которого все вершины соединены ребрами называется неориентированным, если в графе присутствуют и ребра и дуги, то такой граф называется смешанным.

Две вершины называются смежными, если они определяют дугу (ребро), и две дуги называются смежными, если они имеют общую вершину. Вершина инцидентна дуге (ребру), если она является началом или концом этой дуги(ребра). Аналогично, дуга (ребро) инцидентна вершине, если она входит или выходит из этой вершины. Число дуг(ребер), инцидентных некоторой вершине, называют локальной степенью данной вершины.

Граф, в котором любая пара вершин соединена ребром называется полным. Полный граф обычно обозначают через К_n (n - число вершин в графе).

Число ребер полного графа m=n*(n-1)/2. Полный подграф G`=(X`,U`)графа G=(Х,U), X`?X называется максимальным полным подграфом (МПП) или кликой , если этот подграф не содержится в большем (по числу вершин) полном подграфе.

Максимальный полный подграф, содержащий наибольшее число вершин из всех МПП графа называется наибольшим полным подграфом (НПП). Число вершин наибольшего полного подграфа называется плотностью графа - ?(G). Если две любые вершины подмножества X` графа G(Х,U), где X`?X не смежны, то подмножество X` называется внутренне устойчивым.

Подмножество ?_i X графа G(Х,U) называется максимальным внутренне устойчивым подмножеством (МВУП), или независимым подмножеством (НП), если добавление к нему любой вершины x_j?Х делает его не внутренне устойчивым. Подмножество Y_i будет определяться как х_j??_i (Гх_j u?_i =)

МВУП различаются по числу входящих в них элементов. МВУП, содержащее наибольшее число элементов (вершин), называют наибольшим (предельным). Мощность НВУП (число вершин наибольшего ВУП) называется числом внутренней устойчивости

h (G) = |mах ?_i |, где ?_i??, ?-семейство всех МВУП.

Число внутренней устойчивости называет также неплотностью графа.

Задачи определения наибольших полных подграфов и НВУП являются дополнительными друг к другу. Наибольшему полному подгра­фу графа G=(Х,U) соответствует наибольшее ВУП в графе G=(Х,U), где U_полнU, U_полн - множество ребер полного графа, построенного на n вершинах. Аналогичные рассуждения могут быть сделаны и для максимальных НП и МВУП.

Все эти задачи относятся к так называемым NP полным задачам, временная сложность которых экспоненциальна относительно входа (числа вершин или ребер графа).

Согласно классификации всех задач теории графов по их сложности, приведенной в основополагающей работе Э. Рейнгольда и других, задачи определения МВУП и МПП (нахождение клик) графа по сложности относятся к четвертому классу задач, для которых не существует и не может существовать точного полиноминального алгоритма, так как задачи этого класса обязательно экспоненциальные относительно входа. Задачи определения НПП и МВУП (наибольшей клики) относятся к третьему классу, для которого открытие полиноминального алгоритма возможно.

2. Алгоритмы раскраски вершин графа

Раскраской вершин графа G называется разбиение множества вершин Х на l непересекающихся подмножеств Х₁, Х₂, ..., Х_l; ХХ_I; X_iX_j=; i,jI={1,2,..,l}, (1)

таких, что внутри каждого подмножества X_i не должно содержаться смежных вершин (X_i-внутренне устойчивые подмножества).

Если каждому подмножеству х_i поставить в соответствие определенный цвет, то вершины внутри этого подмножества можно окрасить в один цвет, вершины другого подмножества Х_j - в другой цвет и т.д. до раскраски всех подмножеств.

В этом случае граф называется 1-раскрашиваемым. Наименьшее число подмножеств, на которое разбивается граф при раскраске, называется хроматическим числом (G).

Очевидно, что полный граф K_n можно раскрасить только n цветами, следовательно, (К_n) =n. Для связного графа G= (Х,U) с числом ребер m, где (n-1)<m<n(n-1)/2 верхняя оценка хроматического числа (G) определяется как

(G)

Нижней оценкой (G) является число вершин в наибольшем полном подграфе графа G,т.е. его плотность. Известно утверждение, что для любого графа (G)<1+max (x_i),где х_i Х, iI={1,2,...,n},(x_i)- локальная степень вершины х_i.Приводятся также следующие оценки:

(G)n²/(n²-m²); (G)n+1-(G_д),

где G_д= КG ( дополнение графа G до полного К).

Задача раскраски вершин (поиска хроматического числа) графа может быть решена точными или приближенными алгоритмами.

К точным алгоритмам относятся: алгоритм, использующий метод Магу - Вейсмана; алгоритмы, основанные на рассмотрении максимальных r - подграфов и алгоритмы на основе методов целочисленного линейного программирования.

К приближенный алгоритмам раскраски относятся алгоритмы, основанные на упорядочивании множества вершин графов , последовательном удалении из графа вершин, имеющих максимальную степень и на анализе подмножеств смежности вершин.

2.1 Точные алгоритмы