Основная часть

Хорошо известно, что высший аналог второго уравнения Пенлеве [5]

имеет преобразование Беклунда и обратное к нему, определяемые формулами

, (1)

, (2)

соответственно с произвольным параметром .

Это означает, что если известно решение уравнения

(3)

при некотором фиксированном значении параметра , то формула (2) позволяет получить решение уравнения при фиксированном значении параметра .

И наоборот, если известно решение уравнения при фиксированном значении параметра , то с помощью (1) можно получить решение уравнения (3).

При этом предполагается, что знаменатели дробей в (1) и (2) при любых значениях z отличны от нуля.

Система (1), (2) эквивалентна по уравнению:

, (4)

где

Относительно система (1), (2) также эквивалентна уравнению шестого порядка

, (5)

где

Нетрудно проверить, что уравнение (5) получается из (4) с помощью преобразований , .

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Все решения уравнения являются одновременно решениями уравнения (4).

В справедливости данной теоремы можно убедиться, если из найти , и вместе с подставить в уравнение (4).

Остановимся на некоторых свойствах решений уравнения . Лемма. Уравнение можно записать в виде системы

(6)

Справедливость этого утверждения устанавливается исключением из системы (6).

Заметим, что из (6) также следует существование трёхпараметрического семейства решений уравнения при , которое определяется общим решением уравнения

(7)

Действительно, если в (6) положить , , то мы получаем уравнение (7).

Для интегрирования уравнения (7) введём функцию . Тогда и система (6) перепишется в виде

(8)

а уравнение (7) - в виде

. (9)

Ясно, что уравнение (9) интегрируется посредством первого трансцендентна Пенлеве заменой , , где , . Таким образом, справедлива [5]

Теорема 2. Произвольное решение уравнения Риккати , где q - произвольное решение первого уравнения Пенлеве, является решением уравнения .

Известно также [5], что уравнение имеет рациональные решения тогда и только тогда, когда . Они легко получаются из тривиального решения при с помощью формул (1), (2). В частности, при имеем решение , а при решение .

Характерной особенностью уравнения является то, что оно является частным случаем уравнения

,

где , , ,

получающегося из высшей иерархии Кортевега де Фриза

, (10)

где , ,

при помощи редукции

, .

При уравнения и (10) являются [6] классическими уравнениями Кортевега де Фриза и вторым уравнением Пенлеве связанными преобразованием

, .

Для в получаем уравнение . Ещё одной важной особенностью уравнения является то, что оно имеет трёхпараметрические и двухпараметрические семейства полярных решений [7]. В силу теоремы 1 таким же свойством обладает и уравнение (5).

Подробное описание различных свойств решений уравнения в связи с их многочисленными приложениями содержится в учебном пособии [8].