3. ТЕОРЕМА ПАСКАЛЯ

1. При выводе основной теоремы мы получили в ходе доказательства некоторые свойства ряда второго порядка (а также и пучка второго порядка), заслуживающие отдельного изучения.

Обращаясь к рисунку 8, заметим, что шесть заданных точек ряда второго порядка (или кривой второго порядка) можно рассматривать как вершины шестиугольника, вписанного в данную кривую второго порядка. Именно имеем шестиугольник S₁CS₂ADB (Рис. 8). Будем называть (Рис. 8) противоположными такие две стороны шестиугольника, которые в замкнутой последовательности сторон шестиугольника отделены одинаковым числом сторон (а именно двумя) при обходе их как в одном (прямом), так и в другом (обратном) порядке.

Таковы пары сторон:

S₁C и AD,

CS, и DB,

S₂A и ВS₁

Точки пересечения пар противоположных сторон обозначены на рисунке 8 буквами X₁, Х₂ и М, а именно:

S₁CAD=X₁

CS₂DB=X₂,

S₂ABS₁=M.

В процессе доказательства основной теоремы было обнаружено, что как бы ни были выбраны вершины шестиугольника S₁CS₂ADB на кривой второго порядка, три точки пересечения пар противоположных сторон X₁, Х₂ и М лежат на одной прямой. Это замечательное свойство шестиугольника, вписанного в кривую второго порядка, носит название теоремы Паскаля, по имени открывшего его знаменитого французского математика.

Теорема Паскаля может быть формулирована следующим образом:

Во всяком шестиугольнике, вершины которого принадлежат ряду второго порядка, три точки пересечения противоположных сторон лежат на одной прямой (прямая Паскаля).

Мы знаем, что уже пять точек вполне определяют кривую второго порядка. Поэтому шесть вершин вписанного шестиугольника должны быть связаны некоторой зависимостью, которая и выражается в проективной форме теоремой Паскаля. Если пять точек (вершин) будем считать заданными и определяющими кривую второго порядка, то шестая точка (вершина) должна удовлетворять теореме Паскаля. Поэтому последнюю точку можно рассматривать как своего рода «проективный эквивалент» уравнения кривой второго порядка.

Легко убедиться также в справедливости обратной теоремы Паскаля, которую можно сформулировать следующим образом:

Если три точки пересечения противоположных сторон шестиугольника лежат на одной прямой, то его шесть вершин принадлежат одному и тому же ряду второго порядка.

Доказательство этой теоремы можно провести, пользуясь рисунком 8. В самом деле, рассмотрим шестиугольник ADBS₁СS₂ противоположные стороны которого пересекаются в точках X₁, M и Х₂, лежащих на одной прямой. Пять вершин этого шестиугольника A, D, B, S₁, С определяют ряд второго порядка, которому они принадлежат. Предположим, что сторона CS₂ данного шестиугольника пересекается с упомянутым рядом второго порядка в точке S₂ (кроме точки С). Тогда мы будем иметь шестиугольник ADBS₁CS₂, вписанный в кривую второго порядка. Применяя к нему прямую теорему Паскаля, находим, что сторона S₂A должна проходить через точку М. Следовательно, эта сторона совпадает с прямой МА, а точка S₂ - с точкой S₂.

2. Теорема Паскаля позволяет по пяти данным точкам кривой второго порядка построить сколько угодно новых точек той же кривой.

Построение. Пусть даны пять точек S₁, С, S₂, A, D кривой второго порядка (Рис. 9).

Считая эти точки вершинами вписанного в кривую шестиугольника Паскаля, можем провести стороны S₁C, CS₂, S₂A и AD этого шестиугольника. Недостает тех двух сторон шестиугольника, которые проходят через шестую вершину. Эту шестую вершину B мы и будем строить, причем для определенности задачи будем искать ее на произвольно выбранной прямой, проходящей через вершину D. Эта прямая b пересекает один раз кривую второго порядка в точке D. Будем искать вторую точку пересечения ее с кривой, которую обозначим буквой В В самом деле, выбирая точки D и S₁ в качестве центров образующих пучков, найдем в пучке S₁ луч S₁B, соответствующий лучу b. Тогда точка В пересечения соответственных лучей b и S₁B является искомой.. Другими словами, прямая b является стороной шестиугольника и может быть применена для построения прямой Паскаля.

Имеем две точки этой прямой:

X₁=S₁СAD, X₂=CS₂b.

Следовательно, прямая Паскаля Х₁Х₂ построена и пересекает сторону S₂A третьей пары противоположных сторон в точке М. Но тогда прямая S₁M является второй стороной этой пары и определяет искомую вершину В:

B=S₁Mb.

Таким образом, можем построить сколько угодно точек кривой второго порядка, вращая прямую b вокруг вершины D.

3. Рассмотрим теперь вопрос о том, сколько различных прямых Паскаля определяют шесть данных точек кривой второго порядка. Предположим, что A, В, С, D, E, F -- шесть произвольных точек кривой второго порядка. Соединяя эти шесть точек в определенном порядке, получим вписанный в кривую шестиугольник Паскаля. Изменяя порядок соединения вершин, получим новый шестиугольник и т. д. Следовательно, надо подсчитать число различных шестиугольников, имеющих вершинами p данные точки А, В, С, Д, E, F.

Число различных перестановок из шести элементов равно:

Р₆=1 2 3 4 5 6.

Однако при этом подсчете каждый шестиугольник, очевидно, сосчитан шесть раз (начиная с каждой из его вершин, например ABCDEF, BCDEFA, ...). Кроме того, каждый шестиугольник сосчитан дважды, так как он может быть получен двумя противоположными порядками обхода вершин (например, ABCDEF, FEDCBA, …). Поэтому число различных шестиугольников Паскаля равно: P₆=60. Каждому из них соответствует своя прямая Паскаля. Таким образом, будем, иметь 60 прямых Паскаля, определяемых шестью данными точками кривой второго порядка.

4. Конфигурация Паскаля--Паппа. Рассмотрим теорему Паскаля в том частном случае, когда кривая второго порядка распадается на пару прямых. Пусть A, В, С, D, Е, F -- шесть вершин шестиугольника Паскаля, расположенных по три на данных прямых p и q, которые мы рассматриваем как распавшуюся кривую второго порядка (Рис. 10). Тогда имеем следующие три точки пересечения пар противоположных сторон шестиугольника:

X = ABDE, Y=BCEF, Z=CDFA.

По теореме Паскаля эти три точки лежат на одной прямой.

Рассмотренный частный случай теоремы Паскаля был известен еще древним греческим геометрам и носил название теоремы Паппа (Pappus).

Рассматривая рисунок 10, мы замечаем, что он содержит девять точек (шесть вершин и три точки пересечения противоположных сторон) и девять прямых (шесть сторон шестиугольника, две данные прямые p и q и прямая Паскаля). При этом через каждую точку проходят три прямые, а на каждой прямой лежат три точки. Следовательно, мы имеем конфигурацию , которую называют конфигурацией Паскаля--Паппа.

Так как эта конфигурация правильная, то любая из прямых конфигурации может быть принята за прямую Паскаля.