4. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРЕМЫ ПАСКАЛЯ

1. Теорема Паскаля о шестиугольнике, вписанном в кривую второго порядка, может быть применена и к многоугольникам с меньшим числом вершин.

Для этого достаточно предположить, что две какие-либо вершины шестиугольника совпадают. Сторона, соединяющая две совпавшие вершины (а следовательно, и две совпавшие точки кривой второго порядка), является касательной к кривой, причем двойная вершина многоугольника служит точкой прикосновения этой стороны.

Учитывая эти соображения, можем применять теорему Паскаля к случаям вписанного пятиугольника, четырехугольника и треугольника. Пусть, например, в данную кривую второго порядка вписан пятиугольник ABCDE (Рис. 11).

Чтобы применить к нему теорему Паскаля, будем рассматривать одну из его вершин, например вершину D, как двойную. Тогда все шесть вершин шестиугольника Паскаля налицо и могут быть занумерованы, как это и сделано на рисунке. В точке D совпадают две вершины: 4 и 5.

Парами противоположных сторон, обозначенных при помощи номеров вершин, являются:

1,2 и 4,5; 2,3 и 5,6; 3,4 и 6,1.

Согласно сказанному выше сторона 4,5 является касательной к кривой второго порядка в точке D.

Точки пересечения X, Y и Z пар противоположных сторон должны лежать на одной прямой (прямой Паскаля).

Таким образом, теорема Паскаля в случае пятиугольника формулируется следующим образом:

Во всяком пятиугольнике, вписанном в кривую второго порядка, точки пересечения (Y и Z) двух пар несмежных сторон и точка пересечения (X) пятой стороны с касательной в противоположной вершине - лежат на одной прямой.

2. Рассмотрим, далее, четырехугольник ABCD, вписанный в кривую второго порядка.

Будем предполагать, что две из вершин (Рис. 12) этого четырехугольника являются двойными.

Пусть, например, двойными являются вершины A и С. Тогда, нумеруя вершины, мы обозначим точку A двумя цифрами 1, 2, а точку С -- цифрами 4, 5. Применяя теорему Паскаля к полученному таким образом «шестиугольнику» 1, 2, 3, 4, 5, 6, будем иметь три точки пересечения пар противоположных сторон:

Х=(1,2)(4,5),

Y=(2,3)(5,6),

Z=(3,4)(6,1).

Так как вершины 1 и 2 совпадают (в точке A), то сторона 1, 2 обращается в касательную в этой точке. Точно так же сторона 4,5 является касательной в точке С. Эти касательные пересекаются в точке X. Две другие пары противоположных сторон пересекаются в точках Y и Z.

Три точки X, Y и Z по теореме Паскаля должны лежать на одной прямой.

Стороны АВ и CD, пересекающиеся в точке Y, являются также противоположными и для данного четырехугольника ABCD. То же самое можно сказать и о паре сторон, пересекающихся в точке Z (ВС и DA). Вместе с тем третья пара «сторон» АХ и СХ представляет собой пару касательных в противоположных вершинах A и С данного четырехугольника. Следовательно, на прямой Паскаля должны лежать точки пересечения противоположных сторон вписанного четырехугольника и точки пересечения касательных в противоположных вершинах. Так как мы могли бы считать двойными точками вершины В и D четырехугольника, то, очевидно, четвертая точка U пересечения касательных в противоположных вершинах В и D должна лежать на той же прямой Паскаля.

Итак, четыре точки X, У, Z и U должны лежать на одной прямой. Отсюда получаем теорему Паскаля для четырехугольника в следующем виде:

Во всяком вписанном в кривую второго порядка четырехугольнике две пары противоположных сторон и две пары касательных в противоположных вершинах пересекаются в четырех точках, лежащих на одной прямой.

3. Переходим к случаю вписанного треугольника. В этом случае каждую вершину А, В и С треугольника приходится считать двойной точкой (Рис. 13).

Благодаря этому все шесть вершин вписанного «шестиугольника» оказываются налицо, и теорема Паскаля может быть применена. Из шести сторон этого шестиугольника три [(2,3), (4,5) и (6,1)] являются одновременно и сторонами данного треугольника (АВ, ВС и СА). Три другие стороны [(1,2) (3,4) и (5,6)] являются касательными в вершинах данного треугольника (АХ, BZ и CY).

Точки пересечения противоположных сторон «шестиугольника» определяются следующим образом:

Х=(1,2)(4,5);

Y=(2,3)(5,6);

Z=(3,4)(6,1).

Из написанных формул видно, что эти точки являются точками пересечения сторон данного треугольника ABC с касательными в противоположных вершинах.

Три точки пересечения сторон вписанного треугольника с касательными в противоположных вершинах лежат на одной прямой.

4. Частные случаи теоремы Паскаля находят многочисленные применения при решении задач.

Так, например, если кривая второго порядка задана пятью точками A, В, С, D, Е, то в каждой из данных точек можно построить касательную к кривой, используя с этой целью теорему Паскаля для пятиугольника. Так, на рисунке 11 (см. выше) показано построение касательной в точке D при помощи прямой Паскаля.

Другой пример дает рисунок 14. Даны три точки A, В и C кривой второго порядка и касательные а и b в двух из них. Этими данными кривая второго порядка (ряд точек второго порядка) вполне определяется.

В самом деле, принимая точки A и B за центры образующих пучков, устанавливаем проективное соответствие этих пучков с помощью трех пар соответственных прямых;

АВ, АС и а (в пучке A); b, BC и ВА (в пучке В).

Это соответствие пучков A и B дает возможность построить сколько угодно новых точек кривой второго порядка.

В каждой из точек можем построить касательную, применяя с этой целью теорему Паскаля для вписанного треугольника.