9. Пример использования числовых характеристик матриц

Знание собственных значений матрицы и ее проекторов позволяет выполнять вычисления аналитических функций получающихся, например, при решениях систем линейных дифференциальных уравнений, при исследованиях эквивалентных матричных преобразований и пр.

Для примера построим матрицу с заданными собственными значениями и собственными векторами, основанными на векторах .

Сначала необходимо убедиться в линейной независимости исходных векторов и добиться того, чтобы левые и правые одноименные собственные векторы оказались ортогональными, т.е. . Проверка линейной независимости может быть объединена с процессом ортогонализации заданной системы векторов методом Грама-Шмидта.

Для заданных векторов построим систему векторов таких, что , следующим образом:

Откуда последовательно находятся коэффициенты :

Взаимной ортогональности векторов v можно было бы добиваться и так, чтобы каждый был ортогонален каждому , положив и приравняв нулю скалярные произведения :

Определитель этой системы называют определителем Грама:

,

где - матрица, в общем случае комплексно сопряженная с матрицей

, составленной из заданных векторов.

Если грамиан положителен, а он всегда неотрицателен, то векторы линейно независимы, а если равен нулю, то зависимы. Это один из способов проверки конкретного набора векторов на их линейную независимость.

Для заданного выше набора векторов определитель произведения матрицы X на транспонированную X* будет равен

Таким образом, заданная система векторов линейно независима. Для построения ортонормированной системы векторов последовательно вычислим коэффициенты и ортогональные векторы:

После нормирования векторы образуют правую систему собственных векторов. Транспонированная Т-матрица с этими векторами есть -матрица (); ее строки являются собственными левосторонними векторами:

.

Внешнее (матричное) произведение каждого нормированного вектора самого на себя дает нам проекторы искомой матрицы:

Умножая каждое собственное значение из заданного набора на свой проектор и суммируя, получим:

.

Аналогично получается обратная матрица:

.

С помощью этих же проекторов вычисляется любая аналитическая функция, аргументом которой является матрица A:

.