2.1 Метод хорд
Теоретические сведения:
Будем искать корень функции . Выберем две начальные точки (;) и (;) и проведем через них прямую. Она пересечет ось абсцисс в точке (;0). Теперь найдем значение функции с абсциссой . Временно будем считать корнем на отрезке [;]. Пусть точка имеет абсцисcу и лежит на графике. Теперь вместо точек и мы возьмём точку и точку . Теперь с этими двумя точками проделаем ту же операцию и так далее, то есть будем получать две точки и и повторять операцию с ними. Отрезок, соединяющий последние 2 точки, пересекает ось абсцисс в точке, значение абсциссы которой можно приближённо считать корнем. Эти действия нужно повторять до тех пор, пока не получим значение корня с нужным приближением.
Рис. 1 Иллюстрация метода хорд
Рисунок иллюстрирует работу метода хорд. В данном случае вторая производная функции положительна, поэтому в качестве начального приближения выбрана точка хо = b. Как видно из рисунка, метод имеет очень быструю сходимость среди всех методов решения нелинейных уравнений: обычно заданная точность достигается за 2-3 итерации.
Блок схема
Текст задачи
var a,b,e,c,cc,ee:real;
k:integer;
function f(x: real):real;
begin
f:=x*x-2*x;
end;
begin
a:=1;
b:=4;
ee:=0.001;
repeat
cc:=c;
c:=(b*f(a)-a*f(b))/(f(a)-f(b));
k:=k+1;
if f(a)*f(c)<0 then b:=c else a:=c;
e:=abs((c-cc)/c);
writeln(k, ,c:0:5, ,e:0:5, ,f(c):0:5);
until e<=ee;
writeln;
end.
Результаты
а=1, b=4
k |
c |
e |
F(c) |
|
1 |
1.33333 |
1.00000 |
-0.88889 |
|
2 |
1.60000 |
0.16667 |
-0.64000 |
|
3 |
1.77778 |
0.10000 |
-0.39506 |
|
4 |
1.88235 |
0.05556 |
-0.22145 |
|
5 |
1.93939 |
0.02941 |
-0.11754 |
|
6 |
1.96923 |
0.01515 |
-0.06059 |
|
7 |
1.98450 |
0.00769 |
-0.03077 |
|
8 |
1.99222 |
0.00388 |
-0.01550 |
|
9 |
1.99610 |
0.00195 |
-0.00778 |
|
10 |
1.99805 |
0.00097 |
-0.00390 |
Вывод
Достоинство метода хорд: очень быстрая сходимость по сравнению с методом половинного деления к заданной точности.
- 1. Операции с файлами
- 2. Решение иррациональных уравнений
- 2.1 Метод хорд
- 2.2 Метод половинного деления
- 3. Вычисление определенного интеграла
- 3.2 Метод прямоугольников
- 3.3 Метод Трапеций
- Решение систем линейных алгебраических уравнений
- 4.1 Метод Гаусса
- 4.2 Метод Ньютона
- 4.3. Метод Зейделя
- 5. Решение дифференциальных уравнений
- 5.1 Метод Эйлера
- 5.2 Метод Рунге-Кутта
- 6. Ряды Фурье
- Список литературы
- 1.1. Математическое моделирование и численные методы
- Модуль 3. Основные численные методы. Роль численных методов
- 9. Математические модели и численные методы
- Численные методы построения математических моделей
- 6.1 Математические модели и численные методы решения задач в различных предметных областях
- 19. Численные методы решения научно-технических задач
- Тема 1. Математическое моделирование и численные методы.