3.3 Метод Трапеций

Теоретические сведения

Пусть нам требуется вычислить определенный интеграл, где y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Разобьем отрезок [a; b] на n равных интервалов длины h точками. В этом случае шаг разбиения определяется так же как в методе парабол. Рассмотрим функцию на элементарных отрезках [x(i-1);x(i)]. Возможны четыре случая (на рисунке показаны простейшие из них, к которым все сводится при увеличении n):

На каждом отрезке [x(i-1);x(i)] заменим функцию y = f(x) отрезком прямой, проходящей через точки и . На рисунке показаны синими линиями:

В качестве приближенного значения интеграла возьмем выражение

Давайте выясним, что означает в геометрическом смысле записанное приближенное равенство. В первом случае площадь криволинейной трапеции приближенно равна площади трапеции с основаниями f(x(i-1)), f(x(i)) и высотой h, в последнем случае определенный интеграл приближенно равен площади трапеции с основаниями -f(x(i-1)), -f(x(i))и высотой h, взятой со знаком минус. Во втором и третьем случаях приближенное значение определенного интеграла равно разности площадей красной и синей областей, изображенных на рисунке ниже.

Рис. 11

Рис. 12

Блок схема

Текст задачи

Const aa=1; bb=2; ee=0.00001; nn=1;

var a,b,s,ss,e,deltax,x:real;

k,n:integer;

function f(x:real):real;

begin

f:=exp(-x)-sqr(x-1)+1;

end;

begin

a:=aa; b:=bb; n:=nn;

repeat ss:=s;

k:=k+1;

s:=0;

n:=n*2;

DELTAx:=(b-a)/n;

x:=a;

while x<b do begin

s:=s+deltax*(f(x)+f(x+deltax))/2; x:=x+deltax;

end;

e:=abs((ss-s)/s);

writeln(k=,k, ,s=,s:0:7, ,e=,e:0:7);

until e<ee;

end.

Результаты

Вывод

В данном методе небольшое количество итераций, средняя точность относительно методов Симпсона и прямоугольников.

4. Вывод о трех методах

Каждый способ приближённого решения определённого интеграла имеет свои преимущества и недостатки, в зависимости от поставленной задачи следует использовать конкретные методы. Если необходимо быстро получить решение, но нет необходимости в большой точности ответа, следует воспользоваться одним из методов прямоугольника. Если же необходимо получить наиболее точный результат, идеально подходит метод Симпсона. Метод трапеций даёт ответ более точный, чем метод прямоугольников, но методу Симпсона он сильно уступает, этот метод можно назвать «золотой серединой» между двумя другими.