4. Классы абелевых алгебр и их свойства

Как уже было отмечено в параграфе 3, алгебра называется нильпотентной, если существует такой ряд конгруэнций

называемый центральным, что

для любого .

Определение 4.1. В случае, если для нильпотентной алгебры в центральном ряде , то есть если для нее , то алгебра называется, абелевой.

Лемма 4.1. Любая подалгебра абелевой алгебры абелева.

Доказательство:

Пусть подалгебра абелевой алгебры .

Так как по определению , то на существует такая конгруэнция , что:

1) из

всегда следует

2) для любого элемента

всегда выполняется

3) если

то

Рассмотрим конгруэнцию

Действительно, если

для , то

и для любой -арной опеации имеем

Но поскольку подалгебра алгебры , получаем

Значит, подалгебра алгебры .

Очевидно, что для любого элемента имеет место

Таким образом, конгруэнция ня алгебре .

Пусть

тогда

то Если , то

и, значит,

т.е.

Пусть, наконец,

Тогда

и значит .

Итак, конгруэнция удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.

Лемма 4.2. Фактор-алгебра абелевой алгебры абелева.

Доказательство:

Пусть алгебра - абелева, то есть . Покажем, что для любой конгруэнции на выполняется

Пусть - конгруэнция на алгебре , удовлетворяющая определению 2.1.

Определим бинарное отношение на алгебре следующим образом:

тогда и только тогда, когда найдуться такие элементы , , , , что

и

Непосредственной проверкой убеждаемся, что - конгруэнция на алгебре .

Таким образом осталось показать, что удовлетворяет определению 2.1. Пусть

тогда

Пусть

Тогда , и по определению 2.1

При этом и . Согласно нашим обозначениям получаем, что

Пусть

Тогда найдутся , что

и

При этом

Следовательно,

Но тогда по определению 3.1. . А так как , то

Теперь из того, что

следует, что

Лемма доказана.

Лемма 4.3. Прямое произведение конечного числа абелевых алгебр абелево.

Доказательство:

Очевидно, достаточно показать, что если , и - абелевы алгебры, то - абелева алгебра.

Пусть и . Это означает, что на алгебрах и заданы cоответсвенно конгруэнции и удовлетворяющие определению 2.1.

Определим бинарное отношение на алгебре следующим образом:

тогда и только тогда, когда

и

Непосредственной проверкой убеждаемся, что - конгруэнция на алгебре .

Таким образом осталось показать, что удовлетворяет определению 2.1.

Пусть

тогда

Пусть . Это означает, что и . Но тогда

и

Следовательно,

Пусть

тогда

и

Это означает, что и . Таким образом

Лемма доказана.

Результаты, полученные в леммах 4.1, 4.2, 4.3 можно теперь сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема 8 Класс всех абелевых алгебр мальцевского многообразия является наследственной формацией.

Пусть - конгруэнция на алгебре . - подалгебра алгебры , и . Тогда введем новое обозначение

Лемма 4.4. Пусть определено множество . Тогда - конгруэнция на ,

Доказательство:

Так как , то для любого элемента всегда найдется такой элемент , что . Следовательно,

где .

Таким образом .

Пусть теперь , . Тогда

где . Следовательно, для любой -арной операции получаем

Теперь, поскольку , то по лемме 3.2 - конгруэнция на .

Пусть . Тогда, очевидно,

т.е. . Так как

то

Покажем теперь, что . Допустим противное. Тогда найдется такая пара , что и . Из определения следует, что существует такая пара , что

Так как

то применяя мальцевский оператор получаем

Из леммы 2.2. теперь следует, что .

Итак, . Лемма доказана.

Подалгебра алгебры называется нормальной в , если является смежным классом по некоторой конгруэнции алгебры .

Лемма 4.5. Любая подалгебра абелевой алгебры является нормальной.

Доказательство:

Пусть - подалгебра абелевой алгебры . Так как , то по лемме 4.4. на существует такая конгруэнция , что

Лемма доказана.