1. СМО с отказами.

1) одноканальная СМО

Система уравнений Колмогорова имеет вид:

В предельном (стационарном) режиме система уравнений Колмогорова:

Учитывая нормировочное условие p₀ + p₁ = 1, найдем:

; .

которые выражают среднее относительное время пребывания системы в состоянии S₀ (когда канал свободен) и S₁ (когда канал занят), т.е. определяют соответственно относительную пропускную способность системы q и вероятность отказа P_отк:

;

Абсолютная пропускная способность: .

Задача 1. Известно, что заявки в ателье поступают с интенсивностью ?=90 (заявок в час), а средняя продолжительность разговора по телефону t_об = 2 мин. Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.

Решение.

Интенсивность потока обслуживания ?= 1/ t_об =1/2 = 0,5(1/мин ) = 30 (1/ч).

Относительная пропускная способность СМО q = 30/(30+90) = 0,25, т.е. в среднем только 25% поступающих заявок осуществят переговоры по телефону. Соответственно вероятность отказа в обслуживании составит P_отк = 0,75. Абсолютная пропускная способность СМО: Q = 90*0,25 = 22,5, т.е. в среднем в час будут обслужены 22,5 заявки.

Очевидно, что при наличии только одного телефонного номера СМО будет плохо справляться с потоком заявок.

2) многоканальная СМО

Система уравнений Колмогорова имеет вид:

В стационарном режиме:

(1)

Разрешим систему (1) относительно неизвестных p₀, p₁,..., p_m. Из первого уравнения:

(2)

Из второго с учетом (2):

 (3)

Аналогично из третьего, с учетом (2) и (3):

и вообще, для любого k ? m:

. (4)

Введем обозначение:

(5)

? определяет среднее число требований, поступающих в СМО за среднее время обслуживания одной заявки (приведенная плотность потока заявок).

Тогда

(6)

Формула (6) выражает все вероятности p_k через p₀ . Воспользуемся условием :

 > (7)

Подставляя (7) в (6), получим , 0 ? k ? m. (8)

Формулы (7) и (8) называют формулами Эрланга. Полагая в формуле (8) k = m, получим вероятность отказа

: . (9)

Относительная пропускная способность (вероятность того, что заявка будет обслужена):

(10)

Формулы Эрланга и их следствия (9), (10) выведены для случая показательного закона распределения времени обслуживания. Но исследования последних лет показали, что эти формулы остаются справедливыми при любом законе распределения времени обслуживания, лишь бы входной поток был простейшим. Также формулами Эрланга можно пользоваться (с известным приближением) и в случае, когда поток заявок отличается от простейшего (например, является стационарным потоком с ограниченным последействием). Наконец, формулами Эрланга можно приближенно пользоваться и в случае, когда СМО допускает ожидание заявки в очереди, но когда срок ожидания мал по сравнению со средним временем обслуживания одной заявки.

Абсолютная пропускная способность:

. (11)

Среднее число занятых каналов есть математическое ожидание числа занятых каналов:

или или, учитывая (11) и (5)

При большом числе каналов обслуживания применяют следующие формулы, которые также называются формулами Эрланга:

; ; .(7)

При больших значениях i:

, где -

функция Лапласа.

Вероятность отказа: (9)

Относительная пропускная способность

(10)

Среднее число занятых каналов:

= (11)

Задача 2. В условиях предыдущей задачи определить оптимальное число телефонных номеров в ателье, если условием оптимальности считать удовлетворение в среднем из каждых 100 заявок не менее 90 заявок на переговоры.

Решение. Интенсивность нагрузки канала по формуле (5) ? = 90/30 = 3, т.е. за время среднего (по продолжительности) телефонного разговора t_об = 2 мин. поступает в среднем 3 заявки на переговоры.

Будем постепенно увеличивать число каналов (телефонных номеров) n = 2, 3, 4,... и определим по формулам (7), (10), (11) для получаемой n-канальной СМО характеристики обслуживания. Например, при n = 2

; и т.д.

Значения характеристик СМО представим в таблице:

По условию оптимальности q ? 0,9, следовательно, в ателье необходимо установить 5 телефонных номеров (в этом случае q = 0,9). При этом в час будут обслуживаться в среднем 80 заявок (Q = 80,1), а среднее число занятых телефонных номеров (каналов)

Задача 3. Автоматическая телефонная станция обеспечивает не более 120 переговоров одновременно. Средняя продолжительность разговора 60 секунд, а вызовы поступают в среднем через 0,5 секунды. Рассматривая такую станцию как многоканальную систему обслуживания с отказами и простейшим входным потоком, определить: а) среднее число занятых каналов, б) относительную пропускную способность, в) среднее время пребывания вызова на станции с учетом того, что разговор может и не состояться.

Решение. Имеем: m = 120; ? = 1/0,5 = 2; ? = 1/60; ? = ?/? = 120.

Используя таблицы функции Лапласа, получаем:

,

так как

.

так как ? есть интенсивность входного потока (число заявок в единицу времени), то ?t_ср = и .