§ 2. Теории, возникшие на базе аналитических представлений.

На базе аналитических представлений возникли и развиваются математические теории различной сложности: от аппарата классического математического анализа до таких разделов современной математики как математическое программирование, теория игр.

Группы методов	Методы
Анализ	–Исследование экстремумов; –Вариационное исчисление;
Программирование	–Операционное: -Линейное; -Нелинейное; -Целочисленное; -Блочное; –Динамическое; –Эвристическое;
Игры	–Матричные; –Позиционные; –Коалиционные; –Дифференциальные; –Модельные; –Рефлексивные;
Распределение работ, ресурсов	–Теория управления запасами; –Износ и замена оборудования.

Методы исследования экстремумов функций и вариационное исчисление являются основными методами математического анализа. Они основаны на применении аппарата дифференциального и интегрального исчислений и позволяют максимумы и минимумы функций и функционалов, не выходящих за пределы области изменения аргументов и не лежащих на границе этой области.

Математическое программирование – математический метод решения условных экстремальных задач, в общем случае не решаемых классическими методами. Особенностью таких задач является то, что их решения обычно находятся на границе области изменения аргументов.

При подготовке задач к решению они приводятся к виду основной задачи программирования с ограничениями-равенствами или ограничениями-неравенствами.

Основная задача программирования (например, ограничениями-равенствами) формулируется следующим образом:

Дан критерий функционирования системы (критерий эффективности, функция цели, целевая функция)

F=c₁x+c₂x+…+c_nx (I)

и m алгебраических уравнений с n неизвестными (система ограничений):

a

(II)

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=b₂

… … …

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_m

Требуется среди всех неотрицательных решений системы (II) выбрать такое, при котором функция F принимает наибольшее (или наименьшее) значение.

Если функционал (I) и ограничительные равенства (или неравенства) являются линейными, то задача представляет собой задачу линейного программирования. Для решения таких задач разработаны вычислительные методы, наиболее распространенным из которых является симплексный метод (метод последовательного улучшения плана) и его варианты. Из других вычислительных методов решения задач линейного программирования часто применяется метод обратной матрицы, диагональный метод и его модификации.

Если целевая функция, которая должна быть оптимизирована, или некоторые условия (ограничения) нелинейны, то имеет место задача нелинейного программирования. Проблемы нелинейного программирования гораздо сложнее проблем линейного. В настоящее время не существует теории, объединяющей все задачи, относящиеся к нелинейному программированию, и вычислительные методы разработаны лишь для очень специальных классов задач.

Значительное число комбинированных нелинейных условных экстремальных задач может быть сведено к задачам целочисленного программирования. Ограничение на целочисленность, заключающееся в том, что некоторые параметры задачи могут быть только целыми числами, упрощает задачу и позволяет получить приближенное решение ее.

Одним из перспективных направлений математического программирования является блочное программирование, изучающее возможности разбиения задач на подзадачи и получения точного или приближенного решения задач большой размерности по решениям задач с меньшим числом переменных и ограничений.

Динамическое программирование – метод оптимального планирования многоступенчатого процесса выработки решения в условиях неопределенности информационной ситуации.

Основой динамического программирования является принцип оптимальности, сформулированный Р.Беллманом, который гласит: «Каково бы ни было начальное состояние и начальное решение, все последующие решения должны составлять оптимальную политику по отношению к состоянию, являющемуся результатом первого решения». Другими словами: делать все возможное, начиная с той точки, в которой мы находимся в данный момент. Перевод данных формулировок принципа оптимальности в математическую форму приводит к уравнениям, позволяющим определить оптимальные стратегии на каждом шаге решения.

Динамическое программирование дает возможность решать задачи оптимизации при наличии нескольких критериев или составных критериев, а также позволяет проводить анализ критичности условий задачи по отношению к выбранной функции.

Эвристическое программирование – метод решения особо сложных задач в условиях неопределенности информационной ситуации.

Эвристические программы обеспечивают сокращение перебора возможных вариантов при поиске оптимального решения путем использования (сбора, обработки и учета) текущей информации, т.е. путем адаптации алгоритма решения. В основу составления таких программ положены формализованные эвристики (приемы) человека, которыми он пользуется при принятии решений в сложных ситуациях.

Теория игр – математическая дисциплина, изучающая правила поведения в конфликтных ситуациях, антагонистических или неантагонистических.

В последнее время большое распространение получает точка зрения, согласно которой теория игр определяется как теория принятия решений в условиях неопределенности информационной ситуации. Однако в теории игр рассматриваются и игры с полной информацией (т.е. в условиях определенной ситуации). Разумеется, теория игр как и любая другая математическая теория, не охватывает всех разнообразных задач, представляющих конфликтные ситуации. Она рассматривает лишь ситуации, характеризующиеся определенной системой правил-ограничений и имеющие некоторую формальную структуру.

Наиболее развита теория матричных игр двух лиц.

Кроме матричных игр двух лиц, имеются исследования, распространяющие основные положения классической матричной теории игр двух лиц на игры с числом участников больше двух. Исключением можно считать так называемые коалиционные игры, в которых некоторые участники в процессе игры могут образовывать временные или постоянные коалиции с договорным распределением выигрыша. Теория коалиционных игр представляет особый интерес для неантагонистических конфликтных ситуаций – игр систем с «природой».

Из других направлений теории игр перспективными являются:

– теория дифференциальных игр, представляющая собой многошаговые процессы принятия решений, развертывающиеся во времени, при наличии логической связи между шагами. Эти игры в качестве аппарата исследований используют классические средства математического анализа – дифференциальные уравнения;

– теория модельных игр, базирующаяся на экспериментах, которые могут осуществляться с помощью моделирования на аналоговых или дискретных вычислительных машинах (возможны другие способы моделирования); игры человека с моделью или моделей между собой могут помочь усовершенствовать алгоритм. Модельные игры являются наиболее перспективным средством исследования при принятии решения в условиях неопределенности;

– теория рефлексивных игр, которая рассматривает имитацию рассуждений противника в процессе игры как компоненту собственного мыслительного процесса принятия решений.