§1. Основная терминология.

Теоретико-множественные представления базируются на двух основных понятиях: множество и отношения на множествах.

Понятие «множество» относится к числу интуитивно постигаемых понятий, которым дать точное определение. Это понятие эквивалентно понятиям «совокупность», «собрание», «коллекция», «семейство», «класс» и т.д.

Основатель теории множеств Георг Кантор определял множество как «многое, мыслимое нами как единое».

Множества могут задаваться следующими способами:

1. Списком, перечислением (экстенсиональный способ). Например:

A = {a₁, a₂, a_i, …,a_n},

тогда факт вхождения элемента в множество записывают знаком «»:

a_i  A – «элемент a_i принадлежит множеству A» или

«элемент a_i – элемент множества A»,

а если элемент не принадлежит множеству A, то пишут:

с_i  A или с_i A.

2. Путем указания некоторого характеристического свойства (интенсиональный способ).

Например:

• «Множество натуральных чисел»

• «Множество запросов»

• «Множество дескрипторов, используемых в данном тексте» и т.д.

Основным принципом, положенным в основу теории множеств, является принцип перехода от одного способа задания множества к другому – так называемый принцип свертывания.

В множествах могут быть выделены подмножества:

Записывают B  A – все элементы подмножества B являются одновременно элементами множества A, т.е. если:

b_i  B, ∀ i= и b_i  A, ∀ i= , то B  A.

Важным понятием является понятие «пустое множество». Это множество, в котором в данный момент нет ни одного элемента. Условно пустое множество обозначается «∅».

Фундаментом при создании теории множеств явились язык классической математики и язык алгебры логики, наиболее применимой из которых является бинарная алгебра Буля.

При проведении операций над множествами удобно пользоваться наглядным представлением операций и их свойств – строить фигуры, называемые диаграммами Эйлера – Венна.

В зависимости от сложности отображаемой системы язык, ее описывающий, видоизменяется и дополняется новыми понятиями и символами. Вводятся дополнительные характеристики отношений:

Обозначение	Смысл
	Связь
	Направленность отношения
G	Сила отношения
G	Характер отношения

Потребовалось введение понятий гомоморфизма, изоморфизма и др., позволяющих отображать одну множественную модель на другую.

ИЗОМОРФИЗМ (от изо... и греч. morphe — форма), понятие современной математики, уточняющее широко распространенное понятие аналогии, модели. Изоморфизм — соответствие (отношение) между объектами, выражающее тождество их структуры (строения).

ГОМОМОРФИЗМ (от гомо... и греч. morphe — вид, форма), понятие современной математики, обобщающее понятие изоморфизма.