Министерство образования и науки Российской Федерации

Челябинский государственный университет

Математический факультет

Кафедра вычислительной механики и информационных технологий

ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ

Методические указания

Челябинск 2015

Тема I. Индексные обозначения тензоров.

Развитие науки привело к необходимости введения более сложного понятия, чем скалярная величина или вектор. Новый математический объект тензор объединяет такие понятия как скаляр и вектор. Скалярная величина – это тензор нулевого ранга, вектор – это тензор первого ранга.

Индексная запись тензора – это компактная и наиболее удобная форма его записи. Сформулируем правило суммирования для индексной формы записи тензора.

Один и тот же индекс у тензора может встретиться один раз или дважды. Неповторяющийся индекс называется свободным, число свободных индексов определяет ранг тензора. Индекс, встречающийся дважды (повторяющийся индекс), является индексом суммирования, знак суммы не пишется, а подразумевается. Каждый буквенный индекс тензора может принимать значения 1, 2, … , N, где N – размерность индекса. Не теряя общности, будем в дальнейшем считать, что N=3.

Примеры записи тензоров в индексной форме:

1) – тензоры нулевого ранга не имеют свободных индексов и определяются одним числом;

2) – тензоры первого ранга имеют один свободный индекс, и определяются упорядоченным набором из трех чисел (размерность индекса равна трем);

3) – тензоры второго ранга имеет два свободных индекса, и определяются девятью числами;

4) – тензоры третьего ранга, имеет три свободных индекса, и определяется 27-ю числами;

5) и т.д.

Задача 1. В трехмерном евклидовом пространстве раскройте индексное выражение:

Решение. 1) Это тензор нулевого ранга, т.е. скалярная величина, ее определяет одно число:

2) Это тензор первого ранга. Один свободный индекс i определяет ранг этого тензора. Повторяющийся индекс j является индексом суммирования. Распишем тензор первого ранга как вектор:

3) Это тензор нулевого ранга, т.е. скалярная величина. Повторяющиеся индексы i и j являются индексами суммирования. Раскроем последовательно сумму сначала по индексу i, а затем по индексу j:

Задача 2. В трехмерном евклидовом пространстве раскройте индексное выражение:

где – символ Кронекера.

Решение. это тензор нулевого ранга.

_{это тензор нулевого} ранга.

это тензор второго ранга, состоит из 9-ти компонент.

Раскрывая индексное выражение, получим

Это тензор первого ранга, окончательно запишем результат, которым будем пользоваться в дальнейшем

Задача 3. В трехмерном евклидовом пространстве раскройте индексное выражение:

То есть имеем

Решение.

Можно показать, что это индексная запись векторного произведения векторов в декартовой системе координат, где

Эта индексная запись соответствует смешанному произведению векторов: