II. Сферическая система координат

Определим элементы фундаментальной матрицы, для этого составим скалярные произведения векторов локального базиса.

Матрица g^ij определена как обратная к матрице g_ij. Фундаментальная матрица диагонального вида, следовательно, сферическая система координат это ортогональная криволинейная система координат. Найдем векторы взаимного базиса для этой системы координат.

Задача 1. Известны контравариантные компоненты вектора в точкецилиндрической системы координат. Найдите ковариантные компоненты этого вектора в точкеМ.

Решение. Для нахождения ковариантных компонент вектора воспользуемся формулой

тогда получим

^Ответ:

Задача 2. Известны координаты вектора а в декартовой прямоугольной системе координат . Найдите ковариантные и контравариантные компоненты этого вектора в точкесферической системы координат.

Решение.

Определим векторы локального базиса в точке М сферической системы координат

Найдем ковариантные компоненты вектора в точке М, как скалярные произведения данного вектора на базисные векторы.

Найдем контравариантные компоненты вектора в точке М с помощью фундаментальной матрицы и найденных ковариантных компонент вектора.

где

^Ответ: