3.1 Метод эйлера.

Пусть дано дифференциальное уравнение y'=f(x,y) (1), с начальными условиями y(x₀)=y₀ .

Пусть y=y(x) – искомое точное решение. Интегральная кривая проходит через точку (x₀,y₀).

Найдем приближенные значения функции в точках x₁, x₂, …, x_n. Построим систему равноотстоящих точек x₀, x₁=x₀+h, …, x_n=b. Проведём прямые x=x₀, x=x₁, …, x=b.

y₂

Рассмотрим отрезок [x₀,x₁]. На этом отрезке есть одна точка, которая принадлежит искомой кривой – это точка А (x₀,y₀). Заменим дугу искомой кривой y=y(x) на отрезке [x₀,x₁] касательной к ней, проведенной в точке (x₀,y₀). В качестве y₁ возьмём ординату точки пересечения прямой x=x₁ к касательной.

Очевидно y₁=y₀+h•tgα₀. Но tgα₀=y'(x₀), т.е. y₁=y₀+h•y'(x₀). Но из уравнения (1) следует, что

y'(x₀)=f(x₀,y₀).

Итак, получаем y₁=y₀+h•f(x₀,y₀), x₁=x₀+h .

Предположим теперь, что точка (x₁,y₁) принадлежит искомой кривой. В этой точке опять проведём касательную к графику функции до пересечения с прямой x=x₂ .

Тогда аналогично:

y₂= y₁+ h f(x₁,y₁);

x₂= x₁+ h .

Продолжая и так далее, получим систему значений y₁,y₂,…,y_n, которые и будут приближенными значениями функции y=y(x) в точках x₁,x₂,…x_n.

Итак, расчётные формулы метода Эйлера:

y_m+1= y_m+ h f(x_m,y_m);

x_m+1= x_m+ h

Для системы дифференциальных уравнений

y'_I = f_i(x,y₁,y₂,…y_k)

y_i(x₀) = y_i⁰ i = 1,…,K

расчетные формулы записываются аналогично

y_i^m+1 = y_i^m + hf_i(x,y₁^m,y₂^m,…y_k^m);

x_m+1 = x_m+ h,

здесь i – номер уравнения в системе, n – номер шага.

Метод Эйлера является грубым методом, ошибка, которую мы допускаем, на каждом шаге, пропорциональна h, т.е. |y(x_k) - y_k|≈ h.

Чтобы повысить точность вычислений, используют некоторые усовершенствованные методы.