3. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Матрицы, определители, системы линейных уравнений. Матрицы и операции над ними: сложение, умножение на скаляр, произведение матриц. Линейная зависимость и независимость матриц. Определители произвольного порядка и их свойства. Произвольные системы линейных уравнений: совместные и несовместные, определенные и неопределенные. Матричная запись системы. Формулы Крамера. Минор матрицы. Ранг матрицы.

Векторная алгебра. Векторы. Простейшие операции над ними и их свойства. Скалярное произведение двух векторов. Векторное произведение двух векторов и смешанное произведение трех векторов в ориентированном пространстве. Двойное векторное произведение трех векторов.

Аналитическая геометрия. Векторная, аффинная и декартова система координат на плоскости и в пространстве. Криволинейные системы координат: полярная на плоскости, сферическая и цилиндрическая – в пространстве. Формулы преобразования криволинейных координат в декартовы и обратно. Основные формулы аналитической геометрии: координаты вектора, определяемого парой точек; расстояние между двумя точками; формулы деления отрезка в заданном отношении; косинус и синус угла между векторами; площадь треугольника; объем параллелепипеда и тетраэдра.

Различные виды уравнений прямой на плоскости, плоскости в пространстве, прямой в пространстве.

Фигуры в пространстве: цилиндры, фигуры вращения и конусы. Уравнение окружности и сферы. Классификация фигур на алгебраические и трансцендентные. Сохранение степени многочлена при невырожденном линейном преобразовании переменных. Порядок алгебраической фигуры.

Конические сечения: эллипс, гипербола, парабола. Фигуры второго порядка в пространстве: эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды и конусы второго порядка. Их канонические уравнения и свойства.

Линейные пространства и линейные отображения. Алгебраические группы, кольца и поля. Линейное пространство, его аксиомы и простейшие следствия из них. Подпространство линейного пространства. Линейная оболочка системы векторов, её свойства и размерность. Линейные отображения (линейные операторы), их определение и простейшие свойства. Образ и ядро линейного оператора. Изоморфизм линейных пространств и теорема об изоморфизме. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.