4. Векторный и тензорный анализ

Элементы тензорной алгебры. Векторы. Ковекторы. Линейные операторы. Понятие тензора.

Векторная функция скалярного переменного. Производная векторной функции скалярного переменного, выражение в координатах. Годограф. Понятие гладкой регулярной кривой. Длина дуги кривой. Векторная функция многих скалярных аргументов. Частные производные. Поверхность. Элементы дифференциальной геометрии поверхности: нормали и касательные.

Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля. Дифференцируемость скалярного поля, градиент. Производная скалярного поля по направлению. Связь градиента с производной по направлению. Алгебраические и геометрические свойства градиента. Вычисление градиента и производной по направлению в координатах. Система обозначений гамильтона.

Векторное поле. Дифференцируемость векторного поля, дифференциальный оператор. Производная векторного поля по направлению. Дивергенция векторного поля, свойства, вычисление в координатах. Поток векторного поля через поверхность. Теорема Гаусса – Остроградского. Выражение дивергенции через поток. Соленоидальные векторные поля и их признаки. Ротор векторного поля. Теорема Cтокса. Потенциальные векторные поля.