logo
КР по геометрии ЗИМА 2015

Доказать теорему косинусов и синусов в системе аксиом Вейля.

  • Пользуясь аксиомами I, II и III групп Гильберта докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника равны.

  • Отрезки АВ и СD называют равными и пишут АВ=СD, если для любой билинейной формы (см. аксиому 3 ∑W) . Пусть АВ – некоторый отрезок, h/ -произвольный луч, исходящий из точки А/. Докажите в системе аксиом Вейля, что на луче h/ существует единственная точка В/ такая, что АВ=А/В/.

    Вариант 6.

    1. Доказать, что аксиома А2 не зависит от аксиом А1, А4-А6.

    2. В аксиоматике 1) Г. Вейля, 2) Д.Гильберта, 3) А.В. Погорелова дайте определение следующего понятия: биссектрисы угла.

    3. Доказать теорему синусов в системе аксиом Вейля.

    4. Докажите на основе аксиом I-III групп системы аксиом Гильберта: если в треугольниках АВС и А/B/C/ AB=A/B/, AC=A/C/, ےA=ےA/, то ∆АВС=∆A/B/C/ (первый признак равенства треугольников)

    5. Решите задачу сначала в системе аксиом АтанасянаЛ.С., затем в системе аксиом Погорелова А.В.

    Точка В лежит между точками А и С, точка В1 лежит между А1 и С1, АВ=А1В1, ВС=В1С1. Докажите, что АС=А1С1.

    Вариант 7.

    1. Доказать, что аксиома А3 не зависит от аксиом А1-А2, А4-А6.

    2. В аксиоматике 1) Г. Вейля, 2) Д.Гильберта, 3) А.В. Погорелова дайте определение следующего понятия: равенства фигур.

    3. Доказать теорему о двух перпендикулярах в системе аксиом Вейля.

    4. Используя аксиомы I, II и III групп системы аксиом Гильберта докажите, что каждый отрезок можно разделить пополам и притом единственным образом.

    5. Докажите в системе аксиом Вейля, что если две точки прямой принадлежат плоскости, то две точки прямой принадлежат этой плоскости.

    Вариант 8.

    1. Доказать, что аксиома А4 не зависит от аксиом А1-А3, А5-А6.

    2. В аксиоматике 1) Г. Вейля, 2) Д.Гильберта, 3) А.В. Погорелова дайте определение следующих понятий: окружности, круга.

    3. Доказать теорему о трех перпендикулярах в системе аксиом Вейля.

    4. На основе аксиом I-IV групп аксиом Гильберта докажите, что прямая, лежащая в одной плоскости с окружностью и проходящая через внутреннюю точку Р окружности, пересекает окружность в двух точках.